Aufgaben zum Tangentialkegel

27.04.2012, 19:38

Zitrone21

Aufgaben zum Tangentialkegel

Hallo,
bei uns in der Optimierungs-Vorlesung haben wir Tangentialkegel und linearisierte Kegel definiert.

Auf dem Übungsblatt gibt es nun dazu eine Rechenaufgabe, die uns die Thematik näher bringen soll. Beim Tangentialkegel habe ich nun zumindest anschaulich verstanden, was ich damit machen kann.
Bei einem linearisierten Kegel noch nicht.

Mir erscheinen die Aufgaben mit wenig Rechnung behaftet, zumindest bin ich nach einigen Zeilen fertig, ohne das Gefühl zu haben irgendwas gemacht zu haben bzw. fertig zu sein. Kann hier mal jemand drüberschauen, ob ich einfach zu früh aufgehört oder etwas falsch gemacht habe? =)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} S_1 := \{ x \in \mathbb{R}^2 | x_1 \cdot x_2 = 0\} \end{eqnarray*}$ Gebe den Tangentialkegel und den linearisierten Kegel im Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ an

$\begin{eqnarray*} S_1 := \{ x \in \mathbb{R}^2 | x_1 \cdot x_2 = 0\} = \{x \in \mathbb{R}^2 | x_1 = 0\} \cup \{x \in \mathbb{R}^2 | x_2 = 0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow h_1(x) := x_1 \cdot x_2, \nabla h_1(x) = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun gehts zum Tangentialkegel:
$\begin{eqnarray*} T(S_1, x) = \{ d \in \mathbb{R}^2 | \exists d^k \in \mathbb{R}^2, \alpha_k > 0, \alpha_k \in \mathbb{R}, x + \alpha_k \cdot d^k \in S_1, d^k \rightarrow d, \alpha_k \rightarrow 0\} \end{eqnarray*}$
Anschaulich sind in $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ die beiden Koordinatenachsen.
Im Punkt 0 betrachtet beschreibt der Tangentialkegel von $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ nun, in welche Richtungen ich mich wegbewegen kann, sodass ich immer noch in $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ bleibe. D.h. entlang der Koordinatenachsen

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow T(S_1, 0) = \{ d \in \mathbb{R}^2 | d_1 = 0 \text{ oder } d_2 = 0\} \end{eqnarray*}$
Mehr kann ich doch aus dem Tangentialkegel nicht mehr rausholen, oder?

Nun gehts zum Linearisierten Kegel, den wir folgt definiert haben:
$\begin{eqnarray*} \hat{T} := \{ d \in \mathbb{R}^2 | \nabla h_i (x)^T d = 0 \text{ für } 1 \leq i \leq n\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \hat{T} = \{ d \in \mathbb{R}^2 | \begin{pmatrix} x_2 && x_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = 0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \{ d \in \mathbb{R}^2 | x_2 d_1 + x_1 d_2 = 0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \{ d \in \mathbb{R}^2 | x_1 d_2 = - x_2 d_1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \{ d \in \mathbb{R}^2 | d_1 = \frac{-x_1 d_2}{x_2} \} \cup \{ d \in \mathbb{R}^2 | x_1 d_2 = 0 \} \end{eqnarray*}$

Macht man hier noch mehr?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} S_2 := \{ x \in \mathbb{R} | x_2 \geq x_1^2 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(S_2, x) = \{ d \in \mathbb{R}^2 | (d_1 + x_1)^2 \leq d_2 + x_2\} \end{eqnarray*}$
Geht hier noch mehr?

Wenn ich nun hier auch den linearisierten Kegel für S2 in einem beliebigen Punkte x bestimmten will, dann mache ich das hier:
$\begin{eqnarray*} S_2 = \{ x \in \mathbb{R}^2 | h_1(x) \geq 0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h_1(x) := x_2 - x_1^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \nabla h_1(x) = \begin{pmatrix} -2 x_1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \hat{T} := \{ d \in \mathbb{R}^2 | \nabla h_1(x)^T d = 0 \} = \{ d \in \mathbb{R}^2 | -2x_1 d_1 + d_2 = 0 \} = \{ d \in \mathbb{R}^2 | d_2 = 2x_1 d_1\} \end{eqnarray*}$
Hier die gleiche Frage: Bin ich schon fertig?

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