Zweidimensionale invariante Unterräume des R^3

27.04.2012, 19:46	Daft Punk	Auf diesen Beitrag antworten »
Zweidimensionale invariante Unterräume des R^3 Meine Frage: Es sei T ein Endomorphismus im R³ mit $\begin{eqnarray} T(v)=\left (\begin{array}{ccc}<br /> 0 & 1 & 1 \\<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{array}\right)\cdot{v} \end{eqnarray}$ Zeige, dass es unendlich viele zweidimensionale T-invariante Unterräume gibt. Meine Ideen: In den vorherigen Teilaufgaben habe ich bereits gezeigt, dass 0 der einzige Eigenwert von T ist und dass es unendlich viele eindimensionale T-invariante Unterräume gibt. Hierzu habe ich ausgerechnet, dass die Eigenvektoren von T die Form $\begin{eqnarray} \left (\begin{array}{ccc}<br /> x \\<br /> y \\<br /> -y<br /> \end{array}\right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} {x,y}\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ haben. Setzt man hier z.B. y=1, so ist die lineare Hülle des entstehenden Vektors für jedes einzelne x ein T-invarianter, eindimensionaler Unterraum per Definition des Begriffs Eigenvektor. Da die Vektoren für verschiedene x jeweils linear unabhängig sind, sind diese Unterräume paarweise verschieden und es gibt somit unendlich viele. Ich hab nun schon ein bisschen rumprobiert und versucht, noch einen zweiten passenden Vektor zu finden, der zusammen mit dem Eigenvektor eine (bzw dann unendlich viele) Basen bilden könnte. Aber ich hab nichts Geeignetes gefunden. Wäre dankbar für jede Hilfe.
28.04.2012, 10:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gute Idee soweit. Was machen die Komplemente dieser 1-dimensionalen Teilräume, und welche Dimension haben sie ?
28.04.2012, 16:57	Daft Punk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... die Komplemente sind doch überhaupt keine Unterräume mehr, oder? Durch Komplementbildung fliegt doch die 0 (die in den eindimensionalen Unterräumen ja drin ist) raus... ich komm leider auch nicht wirklich drauf, wie diese Mengen dann aussehen könnten
28.04.2012, 17:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In einem Vektoraum V sei U<V ein Untervektorraum, dann nennt man einen Untervektorraum W mit U+W=V einen Komplementärraum, wenn der Durchschnitt von U und W der Nullraum ist. U+W heißt in diesem Fall auch direkte Summe. (Ich habe das mit Komplement gemeint, nicht das Mengenkomplement.) Noch ein Tipp: Für eine direkte Summe U+W=V gilt : dim U + dim W = dim V
28.04.2012, 21:14	Daft Punk	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, der Begriff war mir in diesem Zusammenhang nicht so recht geläufig. Ich hab mal ein bisschen ausprobiert und denke, dass, wenn ich mit $\begin{eqnarray} U=span\{(x,1,-1)\} \end{eqnarray}$ für ein gewisses $\begin{eqnarray} {x}\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ die eindimensionalen, T-invarianten Unterräume bezeichne, dass dann $\begin{eqnarray} W=span\{(x,0,0),(0,x,0)\} \end{eqnarray}$ dazu komplementäre Räume sind. Es handelt sich dabei um zweidimensionale Unterräume und T-invariant sind sie auch, da die Basisvektoren durch T auf 0 bzw. auf (x,0,0) abgebildet werden... aber diese Unterräume bzw. Ebenen im R³ sind ja für verschiedene Werte von x nicht verschieden, es handelt sich immer um die x1x2-Ebene. Wo liegt mein Fehler?
29.04.2012, 11:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ? Warum nicht $\begin{eqnarray} U=span\{x,1,-1\}, W=span\{(a+b,a,b),(a+b,b,a\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a\neq -b, a,b,x\neq 0 , a,b,x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ und vielleicht noch $\begin{eqnarray} a\neq b^2 \end{eqnarray}$ ... tut's das ? oder so ähnlich ...
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29.04.2012, 14:11	Daft Punk	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ist W dann T-invariant? Wenn ich T auf die beiden Basisvektoren von W anwende, erhalte ich in beiden Fällen $\begin{eqnarray} (a+b,0,0) \end{eqnarray}$ , d.h. es wäre zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} (a+b,0,0)\in{W} \end{eqnarray}$ . Aber dieser Vektor liegt unter den genannten Prämissen nicht in W...

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