Grenzwert

24.01.2007, 11:01	trauriger-igel	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Kann mir jemand weiterhelfen, finde keinen Ansatz um dieses Problem zu lösen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} x^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Hab es mit L`Hopital versucht, aber für 0 hoch unendlich ist der doch nicht definiert.
24.01.2007, 11:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Schreibe: $\begin{eqnarray} x^{\frac{1}{x}} = e^{ln(x) \cdot \frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du auf den Exponenten l'Hopital anwenden. EDIT: habe gemerkt, daß das so doch nicht geht. Setzen wir x = 1/n, dann haben wir: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} x^{\frac{1}{x}} = \lim_{n \to \infty}~(\frac{1}{n})^n = \lim_{n \to \infty}~\frac{1}{n^n} \end{eqnarray}$ Und das ist dann klar.
24.01.2007, 11:43	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Hallo, ich glaube der erste Ansatz von klarsoweit ist doch deutlich besser als der zweite, denn der zweite zeigt das Verhalten von nur einer Folge für x gegen 0. Der Grenzwert stimmt also nur, falls er existiert! Lässt man aber im ersten Ansatz x gegen 0 laufen (für den Exponenten), so ist nach dieser Umformung auch schon alles klar, denn der Grenzwert macht nur Sinn, wenn x von rechts gegen 0 geht!
24.01.2007, 12:02	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert OK, ich habe etwas unsauber formuliert. Also zu jeder Folge x_n, die gegen Null konvergiert, bilde ich die Folge $\begin{eqnarray} y_n := \frac{1}{x_n} \end{eqnarray}$ . Diese Folge divergiert nach unendlich und ich habe den gewünschten Effekt.

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