Ungleichung Integral mit e^(-x^2/2)

27.04.2012, 20:29

Necross

Ungleichung Integral mit e^(-x^2/2)

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:
Man beweise, dass für x > 0 die folgenden Ungleichungen gelten:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}}\leq \int_x^\infty \!e^{-\frac{z^2}{2}} \, dz\leq \frac{x}{1+x^2}e^{-\frac{x^2}{2}}<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe leider keinen Plan wie ich dieses Problem angehen soll.
Eine Umformung der e^-(x^2/2) in ein Integral von x bis inf bringen nichts. Ebenso bringen mich Multiplikationen bzw Divisionen von den epx-fkt oder x-ployn. Ich wäre für einen hilfreichen Ansatz sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen

27.04.2012, 20:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Necross
Man beweise, dass für x > 0 die folgenden Ungleichungen gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}}\leq \int_x^\infty \!e^{-\frac{z^2}{2}} \, dz\leq \frac{x}{1+x^2}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Allem Anschein nach hast du die Relationszeichen falsch gesetzt - richtig ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}} \geq \int\limits_x^\infty e^{-\frac{z^2}{2}} ~ \dd z\geq \frac{x}{1+x^2}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Zum Beweis: Differenziere doch einfach mal die beiden "Außenfunktionen"

$\begin{eqnarray*} F_1(x) = \frac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_2(x) = \frac{x}{1+x^2}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Es stellt sich dann nämlich heraus, dass für alle $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$ die Doppelungleichung

$\begin{eqnarray*} -F_1'(z) > e^{-\frac{z^2}{2}} > -F_2'(z) \end{eqnarray*}$

gilt, dieses "Sandwich" bleibt dann auch bei der Integration $\begin{eqnarray*} \int\limits_x^{\infty} \ldots ~ \dd z \end{eqnarray*}$ erhalten. Eigentlich ziemlich naheliegend, finde ich...

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