monotonie durch vollständige Induktion zeigen

27.04.2012, 23:14

Schoki1980

monotonie durch vollständige Induktion zeigen

Meine Frage:
Gegeben Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} a_{0}=1, a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2} \end{eqnarray*}$
Gesucht: Zeige durch vollständige Induktion, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist.

Meine Ideen:
Ich hab das so verstanden. Ich soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} a_{n} < a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist.
Ich weiß nur nicht wie ich jetzt anfangen soll.

27.04.2012, 23:19

Mulder

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RE: monotonie durch vollständige Induktion zeigen

Zitat:

Original von Schoki1980
Ich weiß nur nicht wie ich jetzt anfangen soll.

Naja, wie wäre es mit dem Induktionsanfang? Augenzwinkern

Das prinzipielle Vorgehen bei Induktion ist doch immer dasselbe.

27.04.2012, 23:47

Schoki1980

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RE: monotonie durch vollständige Induktion zeigen

Zitat:

Original von MulderNaja, wie wäre es mit dem Induktionsanfang? Augenzwinkern

Ja, danke ^^ Das habe ich mir ja schon irgendwie gedacht.

$\begin{eqnarray*} a_{0}<\sqrt{a_{0}+2 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

27.04.2012, 23:54

Mulder

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RE: monotonie durch vollständige Induktion zeigen
Es ist doch $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ . Warum rechnest du mit $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ ?

27.04.2012, 23:58

Schoki1980

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RE: monotonie durch vollständige Induktion zeigen

Zitat:

Original von Mulder
Es ist doch $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ . Warum rechnest du mit $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ ?

ohh, ja klar Hammer

$\begin{eqnarray*} a_{0}<\sqrt{a_{0}+2 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1<\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Okay, also ist der induktions Anfang schon mal richtig!?

Dann probiere ich jetzt mal weiter zu rechnen.

28.04.2012, 01:37

Schoki1980

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also ich komme jetzt nicht wirklich weiter.

i.Ann.: $\begin{eqnarray*} a_{n}<\sqrt{a_{n}+2} \end{eqnarray*}$

i.Beh.: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<\sqrt{a_{n+1}+2} \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{a_{n}+2}<\sqrt{\sqrt{a_{n}+2}+2} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht mal ob das bis hierhin noch richtig ist traurig

Könntet ihr mir bitte weiter helfen

28.04.2012, 03:41

SusiQuad

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Schreiben wir es mal auf ...

Gegeben ist eine Folge per $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{a_n +2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 =1 \end{eqnarray*}$

Fall $\begin{eqnarray*} (n=0) \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} a_1 > a_0 \end{eqnarray*}$ ist geklärt

(IV) = (IA) ... Für $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_{n} \end{eqnarray*}$
Zeige (IB): Es gilt auch $\begin{eqnarray*} a_{n+2} > a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Hierzu ...
$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = \sqrt{{\color{blue}a_{n+1}} +2} \quad{\color{blue}>} \quad \sqrt{{\color{blue}a_{n}} +2} = a_{n+1} \end{eqnarray*}$
mit der (IV) UND einer Monotonie-Eigenschaft der Funktion $\begin{eqnarray*} \sqrt{\cdot} \end{eqnarray*}$

Insofern fehlt Deinem (IS) NUR die Ausnutzung der (IV) ...

$\begin{eqnarray*} \rm{(IS)} \quad\colon\quad \rm{(IV)} \xrightarrow[a_{n+1} ~>~ a_{n} ]{\quad \text{Eigenschaft} ~ \sqrt{\cdot} \quad} \rm{(IB)} \end{eqnarray*}$

HTH

28.04.2012, 04:17

SusiQuad

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(OffTopic)

Definiert man $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{a_n +A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 =B\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
für irgendwelche Offsets $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und Startwerte $\begin{eqnarray*} B \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

so würde mich mal interessieren, wie so ein 2-tes Semester diese Frage beantwortet.

Geht das Schoki1980 ?

28.04.2012, 12:14

Schoki1980

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Zitat:

Original von SusiQuad
(IV) = (IA) ... Für $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_{n} \end{eqnarray*}$
Zeige (IB): Es gilt auch $\begin{eqnarray*} a_{n+2} > a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Hierzu ...
$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = \sqrt{{\color{blue}a_{n+1}} +2} \quad{\color{blue}>} \quad \sqrt{{\color{blue}a_{n}} +2} = a_{n+1} \end{eqnarray*}$

das ist mir soweit auch noch klar

Zitat:

Original von SusiQuad
mit der (IV) UND einer Monotonie-Eigenschaft der Funktion $\begin{eqnarray*} \sqrt{\cdot} \end{eqnarray*}$

Insofern fehlt Deinem (IS) NUR die Ausnutzung der (IV) ...

$\begin{eqnarray*} \rm{(IS)} \quad\colon\quad \rm{(IV)} \xrightarrow[a_{n+1} ~>~ a_{n} ]{\quad \text{Eigenschaft} ~ \sqrt{\cdot} \quad} \rm{(IB)} \end{eqnarray*}$

das verstehe ich wiederum nicht unglücklich

Zitat:

Original von SusiQuad
(OffTopic)

Definiert man $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{a_n +A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 =B\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
für irgendwelche Offsets $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und Startwerte $\begin{eqnarray*} B \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

so würde mich mal interessieren, wie so ein 2-tes Semester diese Frage beantwortet.

Geht das Schoki1980 ?

ich sehe da die Frage nicht ein Mal verwirrt

29.04.2012, 15:03

Schocki1980

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Könntet Ihr mir noch helfen, ich verstehe nicht was SusiQuad mir vorgeschalegen hat zu machen.

29.04.2012, 15:21

Mystic

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Zitat:

Original von Schocki1980
Könntet Ihr mir noch helfen, ich verstehe nicht was SusiQuad mir vorgeschalegen hat zu machen.

Naja, die Frage ergibt sich wohl automatisch aus dem Titel dieses Threads, d.h., du sollst unter den gegebenen allgemeineren Voraussetzungen die Monotonie der Folge zeigen, wobei sie wohl an eine Schritt-für-Schritt Übertragung ihres Beweises auf den allgemeinen Fall gedacht hat...

Man kann das aber auch mit der 3.Binomischen Formel machen, indem man den Bruch

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n =\frac {\sqrt{a_n+A}-\sqrt{a_{n-1}+A}}1 \end{eqnarray*}$

geeignet erweitert...

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