Summe einer Reihe bestimmen..

28.04.2012, 11:14

steviehawk

Summe einer Reihe bestimmen..

Meine Frage:
Hallo Leute, ich soll die Summe der folgenden Reihe bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^n n(-1)^nx^{2n} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} |x| < 1 \end{eqnarray*}$

Ich habe leider keine Ahnung wie der Weg dahin ist, die Summe zu bestimmen..

Meine Ideen:
Zum Verständnis: Im Grunde summiere ich ja lauter Funktionen auf, und die Summe von Funktionen bildet ja wieder eine neue Funktion und diese soll ich jetzt ermitteln..

Ich habe mal was gesehen, wo die Summe abgeleitet wurde, das kann ich ja machen zumindest gilt ja auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (-r,r) \end{eqnarray*}$ mit Konvergenzradius r, dass die Ableitung in die Reihe hineingezogen werden darf.. Ich weiß auch, dass der Konvergenzradius sich beim Ableiten nicht verändert. (beim Integrieren auch nicht)

Kann mir also vielleicht jemand die Schritte sagen, (rechnen kann ich dann selber versuchen) wie man die Summe bestimmt??

Danke für die Hilfe!

28.04.2012, 11:22

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..

Zitat:

Original von steviehawk
Ich habe mal was gesehen, wo die Summe abgeleitet wurde, das kann ich ja machen zumindest gilt ja auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (-r,r) \end{eqnarray*}$ mit Konvergenzradius r, dass die Ableitung in die Reihe hineingezogen werden darf..

Joah, kann man machen. Wir haben vorliegen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} n (-x^2)^n \end{eqnarray*}$

Das ergibt (erstmal ohne das n vor der Klammer):

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Dann leite doch mal auf beiden Seiten ab. Danach nur noch ein bisschen umformen, bis es passt...

28.04.2012, 15:33

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..
Ok, also ich habe den Weg ehrlich gesagt noch nicht verstanden, bzw. den Grund warum ich die Reihe jetzt erstmal ableiten soll??

Hab es dennoch mal gemacht: also beiden Seiten abgeleitet, was mache ich denn mit den (n) das ja noch vor jedem Summenglied steht?? Ist ja im Grunde ein Faktor, der beim ableiten erhalten bleibt, schreibe ich den einfach wieder vor die Ableitung?

also hier noch ohne (n):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2n(-x^2)^n}{x} = \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$

so da ich noch nicht so richtig weiß, was die Idee hinter dieser ableiterei ist, weiß ich auch nicht so recht worauf ich hinaus will, also wie ich jetzt weiter machen soll!

Kannst du mir das vielleicht noch mal sagen?? Danke für die Hilfe!

28.04.2012, 15:57

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..
Wenn du das jetzt noch nicht siehst, siehst du es spätestens, wenn wir am Ziel sind. Auf der linken Seite der Gleichung müssen wir eben irgendwie auf die Form der Reihe kommen, die du berechnen sollst. Denn auf der rechten Seite der Gleichung steht dann ja das passende Ergebnis dazu, denn da haben wir kein Summenzeichen. Es geht ja darum, einen geschlossenen Ausdruck zu finden, der eben ohne dieses Summenzeichen auskommt. Wir betrachten das Ganze ja jetzt als eine Art "Hilfsfunktion":

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Und nun wollen wir eben $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ haben. Denn dadurch, dass du das ableitest, kriegst du diesen Faktor n mit in die Summe rein.

Du hast jetzt nach dem Ableiten schon ein paar weitere Umformungen gemacht, die dich dem Ziel aber nicht unbedingt näher gebracht haben. Aber gut, machen wir trotzdem mal da weiter:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2n(-x^2)^n}{x} = \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$

Multipliziere doch jetzt z.B. nochmal auf beiden Seiten mit x und teile dann auf beiden Seiten durch 2. Dann steht das Ergebnis doch da.

29.04.2012, 12:56

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..
Okay, also wenn ich das nun mache, dann bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty n(-x^2)^n = \frac{-1}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$

womit ich ja dann auch schon fertig wäre, denn links steht ja wieder meine Reihe vom Anfang! Nicht wahr?

Also noch mal zusammenfassend:

Wenn ich die Summe einer solchen Potenzreihe bestimmen will, dann zerlege ich sie erstmal, so dass ich die geometrische Reihe sehe, von der ich ja den Wert kenne, wodurch ich eine Gleichung erhalte. Jetzt forme ich diese um, bis wieder meine ursprüngliche Reihe da steht..

Hat es einen speziellen Grund, dass ich ableite, oder ist das einfach praktisch für die Umformung?

Wie immer vielen Dank!!

29.04.2012, 12:59

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty n(-x^2)^n = \frac{-1}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen, rechne da nochmal nach. So stimmt das nämlich nicht.

Zitat:

Original von steviehawk
Hat es einen speziellen Grund, dass ich ableite, oder ist das einfach praktisch für die Umformung?

Es ist einfach eine zielführende Idee (eine solche braucht man eben ab und an).

29.04.2012, 13:12

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..
ohh, es muss heißen (hoff ich):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty n(-x^2)^n = \frac{-x^2}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$

Ich habe das System jetzt mal bei der Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{n} x^n \end{eqnarray*}$ versucht anzuwenden, wenn ich das mal ohne, das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ betrachte, dann habe ich ja gerade wieder die geometrische Reihe für die ich den Wert kenne und bekomme dann nach dem ableiten und einmal mit x multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty n(x^n) = \frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich ja irgendwie dieses $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wieder hin bekommen, aber ich kann ja schlecht die Gleichung mit irgendwas mit n multiplizieren, ich will ja rechts keine n mehr stehen haben.. wie könnte ich das hinbekommen??

Danke

29.04.2012, 17:23

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..

Zitat:

Original von steviehawk
jetzt muss ich ja irgendwie dieses $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wieder hin bekommen [...]

Wie du selbst ja schon siehst, klappt das eben nicht. Denn beim Ableiten kriegt man den Faktor n mit rein, nicht den Faktor 1/n.

Wie wäre es denn, wenn du hier jetzt stattdessen an Integration denkst?

29.04.2012, 18:03

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..
Ich sehe gerade, dass ich die 2te Reihe bei Null beginnend aufgeschrieben habe, sie kann ja aber wegen 1/n erst bei 1 beginnen.. kann ich für den Wert der geometrischen Reihe dann trotzdem

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ verwenden?

Ich geh mal davon aus:

Ich bekomme dann durch Integration:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} x^{n+1} = - log (1-x) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} x^n \cdot x = - log (1-x) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} x^n = ( - log (1-x) + C) \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt den Index der Reihe verschieben? Oder was mache ich mit dem n+1 im Nenner?

Danke

29.04.2012, 18:11

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..
Du willst doch einen bestimmten Reihenwert berechnen. Mit dem unbestimmten Integral mit den ganzen Integrationskonstanten kommst du da doch total durcheinander. Das unbestimmte Integral ist doch nur bis auf konstante Summanden eindeutig. Ausgangspunkt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Jetzt definieren wir uns das bestimmte Integral

$\begin{eqnarray*} h(x) = \int\limits_0^x f(t) \, \dd t \end{eqnarray*}$

Dadurch verschwinden alle Integrationskonstanten und für die untere Grenze x=0 wird auch alles null. Mach damit mal weiter. Und achte auf die Indizes bei den Summen!

Ich bin jetzt erstmal bis heute Nacht weg. Entweder bis morgen warten oder ansonsten gebe ich den Thread gerne für andere Helfer frei.

29.04.2012, 18:52

Valdas Ivanauskas

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe einer Reihe bestimmen..
Warum nicht einfach mit dem Cauchyprodukt?

Zunächst stellen wir fest:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n,~|z|<1. \end{eqnarray*}$

Aus dem Cauchy'schen Multiplikationssatz folgt damit sofort:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-z}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n. \end{eqnarray*}$

Setze nun $\begin{eqnarray*} z=-x^2 \end{eqnarray*}$ und Du kannst aus obiger Zeile das gewünschte Resultat direkt herleiten.

Neue Frage »

Antworten »

Summe einer Reihe bestimmen..

Verwandte Themen