quadratisches Reziprozitätsgesetz, euler kriterium |
| 28.04.2012, 12:17 | goe.alex | Auf diesen Beitrag antworten » |
| quadratisches Reziprozitätsgesetz, euler kriterium Hallo zusammen. Ich versuche gerade den Beweis des Euler- Kriteriums: (a/p)==a^((p-1)/2) modulo p zu verstehen. Dabei ist es speziell der Fall (a/p)= -1 also a quadratischer Nichtrest modulo p welcher mir probleme bereitet. Meine Ideen: bisher bin ich soweit, dass mit dem Satz von Euler, also a^phi(p)= a^(p-1)==1 mod p ist und mit einer einfachen Umformung: (a^((p-1)/2))^2==a^(p-1)==1 mod p ist. Damit erhalte ich nun das Polynom: (a^((p-1)/2))^2 -1 = 0 bzw. t^2 -1 = 0. Dieses hat in Zp[t] (polynomring modulo p) die Nullstellen der Restklassen von 1 und -1. Nun würde ich gern die Nullstelle 1 ausschließen. leider fehlt mir hierzu die entscheidende Argumentation. Ich hoffe mir kann jemand helfen. gruß alex |
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| 28.04.2012, 16:18 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: quadratisches Reziprozitätsgesetz, euler kriterium Du musst a in der Form für einen Erzeuger g mod p anschreiben, dann sollte dieser Schluss (aber nun mit g statt a) kein Problem mehr sein... 
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| 28.04.2012, 17:45 | goealexander | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke für die antwort. damit bleibt dann wirklich nur die lösung -1 übrig. in der zwischenzeit bin ich die sache mal etwas anders angegangen. könntest du auch da mal drüber schaun und mir sagen ob diese beweisführung zulässig ist? ich gehe davon aus, das (a/p) = -1 ist also die kongruenz x^2 == a mod p keine lösung hat (als a quadratischer Nichtrest). die elemente des Körpers sind ja bekanntlich {1,2,...,p-1}. jetzt wähle ich mir aus dieser menge ein b und formuliere bx==a mod p. diese kongruenz ist für alle b lösbar da ggt(a,p)=1 ist. jetzt wähle ich mir ein weiteres element der menge c mit b ungleich c (da a sonst quadratischer rest) und formuliere weiter bc == a mod p. unter der vorraussetzung b ungleich c kann ich genau (p-1)/2 paare finden welche kongruent zu a modulo p sind. (die menge der quadratischen nichtreste ist eine untergruppe von Z modulo p der ordnung (p-1)/2). bilde ich nun das produkt dieser (p-1)/2 paare erhalte ich: 1*2*...*(p-1)=(p-1)!==a^((p-1)/2) mod p mit dem satz von willson kann ich jetzt folgern, das p (was schon nach vorraussetztung eine primzahl ist) genau dann eine primzahl ist wenn (p-1)! also auch a^((p-1)/2) kongruent zu -1 mod p ist. |
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| 28.04.2012, 18:34 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Beweisidee ist richtig, deine Formulierung ist aber dermaßen "verworren", dass ich dir nie und nimmer glaube, dass dies auf deinem Mist gewachsen ist, zumal du das auch schon auf anderen Foren gepostet hast... 
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