Banach und Fixpunkte |
| 28.04.2012, 16:34 | Tobi00 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Banach und Fixpunkte Ich habe mir eben den Banach'schen Fixpunktsatz angesehen und habe dabei die Aussage dazu gefunden, dass dieser Satz sagt, dass es genau einen Fixpunkt gibt. Dabei kam jedoch eine Frage auf. Es gibt ja auch quadratische Funktionen, die 2 Fixunkte haben. Trifft dann danarauf der Banach'sche FPS nicht zu bzw. hab ich das "genau einen Fixpunkt" falsch interpretiert? Ich wäre sehr dankbar für Antworten. |
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| 28.04.2012, 16:46 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Banach und Fixpunkte Der Satz hat einige Bedingungen. Die Funktion f(x) = x besteht nur aus Fixpunkten, die Funktion g(x) = x + 1 hat keinen einzigen. Du musst darauf achten, wie der Satz formuliert ist, und welche Bedingungen an die Funktion gestellt wird. |
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| 28.04.2012, 16:53 | Tobi00 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Banach und Fixpunkte Ich habe als Bedingungen: f: R-->R und dass f Kontraktion sein muss Ist das schon der Schlüssel? d.h. Funktionen die z.b. keine Kontraktion sind, auf die kann ich den Banach'schen FPS nicht anwenden und daher gilt das mit dem genau einen Fixpunkt auch nicht? |
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| 28.04.2012, 17:16 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Banach und Fixpunkte Richtig, die Kontraktion ist sehr wichtig. Und du kannst natürlich Sätze nur auf Objekte anwenden, die die Anforderungen genügen. Funktionen wo es z.B. gut funktioniert, wären f(x) = 0.5 * x, oder g(x) = sin(x). |
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| 28.04.2012, 17:38 | Tobi00 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Banach und Fixpunkte Also z.b. bei der Funktion f(x)=x+1, stelle ich dann fest, dass das keine Kontraktion ist, weil die Abstände der Bilder nicht kleiner gleich der Abstände der Urbilder multipliziert mit der Kontraktionskonstanten ist, oder? Und daher kann ich den Banach'schen FPS nicht anwenden. Ok, vielen vielen Dank für die Antworten! |
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| 28.04.2012, 17:43 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Banach und Fixpunkte Für das Beispiel gilt , mit . Wäre L < 1, müsste es genau einen Fixpunkt geben, genau. |
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| 28.04.2012, 17:49 | Tobi00 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Banach und Fixpunkte Danke!!! |
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| 29.04.2012, 09:17 | BatistaVK | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Banach und Fixpunkte Als ich mich mit diesem Thema beschäftigt hatte, stieß ich auf eine Bachelorarbeit, die mir in einigen Punkten weiterhalf und auch ergänzte: http://www.math.uni-bielefeld.de/~emmrich/studenten/ba-andrea.pdf Ansonsten wurde, wie ich es sehe, deine Frage weitgehend beantwortet. Gruß, Batista |
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