Gleichmäßige Konvergenz von Reihen

28.04.2012, 17:04

KnowingLizard

Gleichmäßige Konvergenz von Reihen

Ich will einige Reihen auf gleichmäßige Konvergenz überprüfen. Bei den ersten hatte ich auch kein Problem, da schlug der M-Test von Weierstraß an, nun bleiben aber noch einige übrig, bei denen der eben nicht positiv ausfällt und somit keine Aussage macht. Irgendwie fehlen mir da jetzt Mittel und Wege, um da gleichmäßige Konvergenz zu zeigen.

Es geht um folgende Reihen für $\begin{eqnarray*} x \in [0, 1) \end{eqnarray*}$ :
(a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty x^n \end{eqnarray*}$
Die Reihe ist natürlich punktweise konvergent als geometrische Reihe, mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ , dann überprüfe ich nun mit der Definition von gleichmäßiger Konvergenz bei Reihen (= gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen) die Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}|\sum\limits_{k=1}^n x^k - \frac{1}{1-x}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sup_{x\in[0,1)}|\frac{1-x^{n+1}}{1-x} - \frac{1}{1-x}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sup_{x\in[0,1)}|\frac{x^{n+1}}{1-x}| \end{eqnarray*}$
Nur, wie kann ich davon nun den Grenzwert bestimmen? Oder gibt es einen ganz anderen, einfacheren Weg, der mir gerade nicht einfällt?
Die anderen Reihen, die ich bearbeiten will, sind dieser hier ganz ähnlich und da die alle so einfach aussehen, glaube ich, ich habe einfach nur ein Brett vor dem Kopf, also hoffe ich, mir kann jemand helfen smile

Die anderen Reihen:
(b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (1-x)*x^n \end{eqnarray*}$ (punktweise natürlich als Teleskopsumme konvergent...)
Moment mal, hier fällt mir gerade beim Eintippen was auf, der Grenzwert der Reihe ist ja x (x^1 und das x^(n+1) würden bei einer Partialsumme bis n ja übrig bleiben, oder?), oder nicht, dann wäre ja
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}|x-x^{k+1} - x| = \sup_{x\in[0,1)}|x^{k+1}| = 1^{k+1} \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ für k gegen unendlich. Kann ich für das Supremum über x ohne 1 insbesondere sagen, dass das von x^(k+1) = 1 ist? Da ja die 1 nicht im Intervall ist. Schon, oder? Da es ja um das Supremum und nicht das Maximum geht. Könnte ich das ggfs. irgendwie besser formal begründen?

Bei der dritten Reihe bin ich hingegen immer noch ratlos:
(c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n(1-x)*x^n \end{eqnarray*}$ , das dürfte ja nach dem Quotientenkriterium punktweise konvergent sein, aber gleichmäßig? Wie zeige ich das?

01.05.2012, 09:35

steviehawk

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von Reihen
Hallo,

also für die a) müsste man doch eigentlich den M - Test verwenden können, denn für $\begin{eqnarray*} q \in [0,1) \end{eqnarray*}$ gilt doch:

$\begin{eqnarray*} |x| \leq q \Rightarrow |x^k| \leq q^k \end{eqnarray*}$

die geometrische Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$ konvergiert aber, da $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Also konvergiert nach dem Weierstraß'schen M - Test auch die Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^k \end{eqnarray*}$

Was meint ihr dazu? verwirrt

01.05.2012, 10:18

Mulder

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von Reihen
Diese Abschätzung müsste doch für alle x in [0,1) gelten. Das Problem ist aber, dass x beliebig nahe an die 1 rankommen kann. Daher gelingt dir keine passende Abschätzung.

@KnowingLizard:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \sup_{x\in[0,1)}|\frac{x^{n+1}}{1-x}| \end{eqnarray*}$

Hier bleibst du berechtigerweise hängen, denn dieses Supremum existiert einfach nicht. Was passiert denn, wenn du beliebig nahe an die 1 rankommst? Der Bruch wird unendlich groß.

Man kann gleich sehen, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt, weil die Grenzfunktion auf [0,1) nicht beschränkt ist. Das muss sie aber sein!

Laufen die Reihen eigentlich alle bei n=1 los? Dann musst du aufpassen, wenn du das 1/(1-x) verwendest, das gilt ja nur, wenn n bei 0 losläuft.

Edit: Inzwischen wurde ja schon ein neuer Thread eröffnet (warum auch immer). Nunja, dann mach ich hier dicht.

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Gleichmäßige Konvergenz von Reihen

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