Jacobi-Methode

28.04.2012, 17:48

Gast11022013

Jacobi-Methode

Meine Frage:
Kann mir jemand die "Jacobi-Methode" (Dichtetransformation) erklären:

Hier ist die Beschreibung der Methode, auf die ich mich beziehe.

Vielleicht an diesem Beispiel:

Zitat:

Büning, Trenkler
Ist n gerade (n=2k), so ist der Median M definiert durch $\begin{eqnarray*} M=(X_{(k)}+X_{(k+1)})/2 \end{eqnarray*}$ . Die gemeinsame Dichte von $\begin{eqnarray*} X_{(k)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{(k+1)} \end{eqnarray*}$ lautet:

$\begin{eqnarray*} f_{X_{(k)},X_{(k+1)}}(y_k,y_{k+1})=\begin{cases}\frac{(2k)!}{(k-1)!(k-1)!}(F(y_k))^{k-1}(1-F(y_{k+1}))^{k-1}f(y_k)f(y_{k+1}), & \text{falls }y_k<y_{k+1}\\0, & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Transformieren wir nun

$\begin{eqnarray*} y=\frac{y_k+y_{k+1}}{2}, x=y_{k+1} \end{eqnarray*}$ ,

so erhalten wir mit Hilfe der Jacobi-Methode

$\begin{eqnarray*} f_{M}(y)=2\frac{(2k)!}{(k-1)!(k-1)!}\int_{y}^{\infty}(F(2y-x))^{k-1}(1-F(x))^{k-1}f(2y-x)f(x)\, dx \end{eqnarray*}$

Es wäre toll, wenn mir jemand die einzelnen Schritte, wie sie in dem obigen Link allgemein gegeben sind, an diesem Beispiel erklären könnte.

Meine Ideen:
Also was ich weiß:

Díe Jacobi-Methode nimmt man immer dann, wenn man eine Dichte für eine Zufallsvariable wissen will, die man als eine Funktion einer Zufallsvariable schreiben kann, deren Verteilung man kennt.

In diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} M=T((X_{(k)},X_{(k+1)})):=\frac{X_{(k)}+X_{(k+1)}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Weiter weiß ich, daß man nun für jede Komponente der "neuen" Zufallsvariablen eine Transformation vornimmt.
Hier hat man ja eine eindimensionale ZV (M ist ja eindimensional)

$\begin{eqnarray*} y=u(y_k,y_{k+1})=\frac{y_k+y_{k+1}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Dann nimmt man noch für jede Komponente inverse Transformationen vor.

Wie sieht das hier aus?

Soll das x die inverse Transformation sein?!

28.04.2012, 23:26

Gast11022013

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Hallo, ich denke, ich habe es jetzt selbst hinbekommen und verstanden. Ich führe es mal eben vor:

Also die Transformation ist:

$\begin{eqnarray*} (x_k,x_{k+1})\mapsto\left(\underbrace{\frac{x_k+x_{k+1}}{2}}_{=:y},\underbrace{x_{k+1}}_{=:x}\right) \end{eqnarray*}$

Und dann die inverse Transformation:

$\begin{eqnarray*} (y,x)\mapsto (2y-x,x) \end{eqnarray*}$

Die Jacobimatrix ist dann:

$\begin{eqnarray*} J=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante ist 2.

Nach dem Transformationssatz gilt:

$\begin{eqnarray*} f_{\frac{X_{(k)}+X_{(k+1)}}{2},X_{(k+1)}}\left(\frac{x_k+x_{k+1}}{2},x_k\right)=f_{X_{(k)},X_{(k+1)}}(2y-x,x)\cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(2k)!}{(k-1)!(k-1)!}(F(2y-x))^{k-1}(1-F(x))^{k-1}f(2y-x)f(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Randdichte bestimmen, fertig.
Den Schritt spare ich mir mal eben.

Müsste korrekt sein. Augenzwinkern

(Oder?)

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