entschlossene Minderheiten...

24.01.2007, 12:23

merlin25

entschlossene Minderheiten...

Hi,
ich habe mit der folgenden Aufgabe Startprobleme und würde mich über ein wenig Hilfe sehr freuen.

1. Zwei Kandidaten (A und B) stellen sich zur Wahl. Die Wähler sind unentschlossen und wählen unabhänig voneinander mit p=0,5 einen der beiden Kandidaten. Da A unbedingt gewinnen will verpflichtet er eine Minderheit ihn zu wählen. Diese Minderheit wählt also A!

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_A \end{eqnarray*}$ für einen Wahlsieg von A in Abhänigkeit von der Anzahl N aller Wähler und der Anzahl M aus der Minderheit.

b) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} p_A \end{eqnarray*}$ unter Verwendung der Normalapproximation konkret für einen Minderheitenanteil M/N=0,4% sowie N=6000 bwz. 60000 bwz. 600000 Wähler.

Ich habe mir folgende Formel überlegt:
$\begin{eqnarray*} (1\cdot M+0,5\cdot (N-M))\cdot \frac{1}{N} =p_A \end{eqnarray*}$

nur komme ich bei b immer auf das gleiche Ergebniss???

24.01.2007, 14:49

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Formel stimmt nicht. Wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Wähler sowieso den Kandidaten A wählen, braucht dieser aus den restlichen $\begin{eqnarray*} N-M \end{eqnarray*}$ mit 0,5 zu 0,5 unentschlossenen Wählern nur noch mehr als $\begin{eqnarray*} \frac{N}{2} - M \end{eqnarray*}$ Stimmen für einen Sieg. Bezeichnet also $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Zahl der Wähler von A, so ist die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P \left( X > \frac{N}{2} - M \right) \end{eqnarray*}$

gesucht. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist binomial-verteilt. Die Parameter können der obigen Beschreibung entnommen werden.

Wenn dir die Vorstellung schwerfällt, so nimm erst einmal ein Beispiel, um den obigen Ansatz zu verstehen, etwa

$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ = 1 Million Wähler insgesamt
$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ = 10 000 für A verpflichtete Wähler

Wie viele der Unentschiedenen müssen für A stimmen, damit dieser gewinnt?

25.01.2007, 10:54

merlin25

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort aber eine Sache ist mir noch nicht ganz klar. Also X sind dan ja nur die unentschlossenen Wähler (N-M) oder?

Also mit einem = habe ich kein Problem
$\begin{eqnarray*} P(X=\frac{N}{2}-M) \end{eqnarray*}$

Da ich aber hier schlecht alle Fälle betrachten kann um mit = rechnen zu können. Das würde auch in einem konkreten Beispiel sehr lange dauern.

Wie macht man das jetzt wenn da ein > oder < steht gibt es da evtl. Tabellen oder auch eine Formel. verwirrt

25.01.2007, 11:26

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von merlin25
Danke für die Antwort aber eine Sache ist mir noch nicht ganz klar. Also X sind dan ja nur die unentschlossenen Wähler (N-M) oder?

Das ist aber sehr ungenau ausgedrückt. Auch wenn wir hier nicht im Deutschboard sind, brichst du dir keinen ab, wenn du deutlich formulierst:

Die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kennzeichnet nur die Anzahl der unentschlossenen Wähler, welche Kandidat A wählen. D.h., die "gekauften" Wähler werden in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht erfasst.

So wie du es oben geschrieben hast, würde ich es als (deterministisches) X=N-M auffassen, und das ist offensichtlich Käse.

Zitat:

Original von merlin25
Da ich aber hier schlecht alle Fälle betrachten kann um mit = rechnen zu können. Das würde auch in einem konkreten Beispiel sehr lange dauern.

Wie macht man das jetzt wenn da ein > oder < steht gibt es da evtl. Tabellen oder auch eine Formel. verwirrt

Hast du schon mal von der Approximation der Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ durch die Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(np,np(1-p)) \end{eqnarray*}$ gehört, basierend auf dem Zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace (OK, vergiss den letzten Halbsatz, wenn er dir nichts sagt)? Genau diese Approximation ist hier zweckmäßig anzuwenden, wobei der Approximationsfehler wegen des doch sehr großen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hier äußerst gering ausfällt, und somit die Approximation bedenkenlos angewandt werden kann.

25.01.2007, 17:47

merlin25

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Du hast natürlich recht. Ich werde mir in Zukunft die Zeit nehmen und meine Fragen sorgfältig formulieren.

Also Du hast mir sehr geholfen. Ich habe in einem Buch etwas zu dem Thema gefunden. Allerdings war in diesem Buch immer ein größer gleich eingesetzt. Daher habe ich nun mit folgender Wahrscheinlichkeit zu tun.
Hoffe das stimmt.

$\begin{eqnarray*} P(X\geq \frac{N}{2} -M+1) \end{eqnarray*}$

X ist somit binomialverteilt B(n,p)

n=N-M
p=0,5

$\begin{eqnarray*} B(n,p)\approx N(np,\sqrt{np(1-p)} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N((N-M)\frac{1}{2},\sqrt{(N-M)\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(\frac{N-M}{2},\frac{\sqrt{N-M}}{2} ) \end{eqnarray*}$

Es gilt ja folgende Aussage:
$\begin{eqnarray*} P\{ B(n,p) \geq l\}\approx \Phi(-u) \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} -u=\frac{-1}{\sqrt{np(1-p)} } (l-\frac{1}{2}-np) \end{eqnarray*}$

Und jetzt kann man die Werte aus der Tabelle für die Verteilungsfunktion nehmen.

bei b) komme ich dann auf folgende Wahrscheinlichkeiten:

61,79%
83,65%
99,9%

kommt mir ein wenig komisch vor?
Stimmt das so?

25.01.2007, 18:38

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt nicht nachgerechnet, aber von der Tendenz her stimmt es: Die Anzahl der "gekauften" Wähler soll ja hier linear steigen, dann ist ein solcher Effekt wie hier zu erwarten:

Wollte man dagegen die Wahlsiegwahrscheinlichkeit konstant halten, müsste die Anzahl der gekauften Wähler nur mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ steigen, statt mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

26.01.2007, 11:35

merlin25

Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE

Meist Du ich kann bei a) einfach die allgemeine Formel, welche ich mit der Normalapproximation bekommen habe angeben? Bei a) steht ja nichts davon. Gibt es auch eine andere Möglichkeit neben der Normalapproximation?

Neue Frage »

Antworten »

entschlossene Minderheiten...

Verwandte Themen