Schwierige Gleichung, unlösbar?

28.04.2012, 18:53

eey

Schwierige Gleichung, unlösbar?

Hallo zusammen,

ich habe hier folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a \cdot e^{-a*x} + b \cdot e^{-b*x} + c \cdot e^{-c*x} = 0 \end{eqnarray*}$

Nach einiger Recherche im Internet denke ich wohl dass diese Gleichung nur numerisch gelöst werden kann und nicht analytisch (falls dies nicht so ist, bitte korrigieren).

Meine eigentliche Frage ist jetzt: Ist es bewiesen dass es dafür keine analytische Lösung geben kann, oder ist es möglich dass dafür eine Lösung existiert (die zum Beispiel durch Zufall gefunden werden könnte)?

Freue mich über Antworten!

Schöne Grüße,
eey

29.04.2012, 00:10

original

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RE: Schwierige Gleichung, unlösbar?

Zitat:

Original von eey

ich habe hier folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a \cdot e^{-a*x} + b \cdot e^{-b*x} + c \cdot e^{-c*x} = 0 \end{eqnarray*}$

Nach einiger Recherche im Internet denke ich wohl dass diese Gleichung nur numerisch
gelöst werden kann und nicht analytisch (falls dies nicht so ist, bitte korrigieren).

wenn du die Gleichung mit den Platzhalter a,b,c allgemein lösen willst, kannst du
auch "numerische Lösung" ja ebenfalls gerade vergessen...
....................................................................................... Wink

29.04.2012, 07:56

eey

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Hm ja,

aber ist es bewiesen dass es dafür keine analytische Lösung gibt? Wenn man zum Beispiel die letzte e-Funktion weglässt (c = 0), dann kann man die Gleichung problemlos analytisch lösen.

Woran liegt es dass das mit einer e-Funktion mehr nicht mehr geht?

Mir gehts darum: Ich will einen Algorithmus programmieren der versucht eine analytische Lösung zu finden. Wenn es aber bewiesen ist dass das hier nicht geht, kann ich mir die Mühe sparen.

Schöne Grüße,
eey

02.05.2012, 13:03

eey

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Keiner eine Idee? unglücklich

Mich würde auch interessieren: Gibt es überhaupt (irgendein) Beispiel dafür dass eine Gleichung nicht analytisch gelöst werden kann, aber dennoch eine analytische Lösung existiert? Wurde so etwas schonmal gezeigt?

Schöne Grüße,
eey

02.05.2012, 13:29

HAL 9000

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Es ist ja nicht so, dass es mit der analytischen Auflösung generell nicht geht. Du hast ja schon den Fall angesprochen, dass eine der drei Variablen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ gleich Null ist, da geht es.

Es geht aber auch in dem Fall, dass $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ in irgendeiner Reihenfolge (d.h. z.B. auch $\begin{eqnarray*} a,c,b \end{eqnarray*}$ ) eine arithmetische Folge bilden. Dann läuft das ganze nämlich auf eine quadratische Gleichung hinaus.

Bei allgemeiner Parametersituation sieht es aber schlecht aus: Mit einer geeigneten Substitution $\begin{eqnarray*} t = e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ kommt man dann auf eine Gleichung vom Typ $\begin{eqnarray*} t^{\alpha} + pt+q=0 \end{eqnarray*}$ :

Für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} \alpha\geq 5 \end{eqnarray*}$ gibt es nachgewiesenermaßen (N.H.Abel) keine allgemeine Formellösung, für die meisten anderen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sieht es dann erst recht nicht besser aus.

Und dann gibt es natürlich noch die Trivialfälle, wo man sofort erkennt, dass es keine reelle Lösung gibt: Z.B. wenn $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ alle drei positiv oder alle drei negativ sind. Augenzwinkern

02.05.2012, 13:51

eey

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist ja nicht so, dass es mit der analytischen Auflösung generell nicht geht. Du hast ja schon den Fall angesprochen, dass eine der drei Variablen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ gleich Null ist, da geht es.

Es geht aber auch in dem Fall, dass $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ in irgendeiner Reihenfolge (d.h. z.B. auch $\begin{eqnarray*} a,c,b \end{eqnarray*}$ ) eine arithmetische Folge bilden. Dann läuft das ganze nämlich auf eine quadratische Gleichung hinaus.

Bei allgemeiner Parametersituation sieht es aber schlecht aus: Mit einer geeigneten Substitution $\begin{eqnarray*} t = e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ kommt man dann auf eine Gleichung vom Typ $\begin{eqnarray*} t^{\alpha} + pt+q=0 \end{eqnarray*}$ :

Für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} \alpha\geq 5 \end{eqnarray*}$ gibt es nachgewiesenermaßen (N.H.Abel) keine allgemeine Formellösung, für die meisten anderen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sieht es dann erst recht nicht besser aus.

Und dann gibt es natürlich noch die Trivialfälle, wo man sofort erkennt, dass es keine reelle Lösung gibt: Z.B. wenn $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ alle drei positiv oder alle drei negativ sind. Augenzwinkern

Hm, Ok, danke schonmal für die Antwort. Aber was ist das Alpha jetzt in diesem Beispiel, irgendwie versteh ich die Substitution nicht so ganz...

02.05.2012, 13:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von eey
Hm, Ok, danke schonmal für die Antwort. Aber was ist das Alpha jetzt in diesem Beispiel, irgendwie versteh ich die Substitution nicht so ganz...

Ich hab mich ja auch nicht genau zur Wahl von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ geäußert, nur insoweit, dass es ein solches gibt. Das liegt auch daran, dass du hinsichtlich $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ keinerlei Vorgaben gemacht hast. Z.B. ein "o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a<b<c \end{eqnarray*}$ " würde in der Hinsicht schon mal enorm weiterhelfen.

02.05.2012, 14:08

eey

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Ach so, alles klar, dann mach ich das mal.

Eigentlich sieht das ganze so aus:

$\begin{eqnarray*} <br /> (T3 - T2) \cdot e^{-\frac{t}{T1}} + (T1 - T3) \cdot e^{-\frac{t}{T2}} + (T2 - T1) \cdot e^{-\frac{t}{T3}} = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Wobei T1, T2 und T3 immer >0 sind.

Hilft das weiter?

02.05.2012, 14:13

HAL 9000

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Das ist jetzt aber keine Gleichung vom Typ

$\begin{eqnarray*} a \cdot e^{-a*x} + b \cdot e^{-b*x} + c \cdot e^{-c*x} = 0 \end{eqnarray*}$ ,

sondern allenfalls

$\begin{eqnarray*} A \cdot e^{-a*x} + B \cdot e^{-b*x} + C \cdot e^{-c*x} = 0 \end{eqnarray*}$ ,

denn Vorfaktor und Exponentenfaktor sind ja nun in diesem Beispiel nicht dieselben. Forum Kloppe

02.05.2012, 14:25

eey

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Ja stimmt, das ist relativ peinlich geschockt

Ich dachte das spielt für die Entscheidung ob es eine analytische Lösung gibt keine Rolle ...

02.05.2012, 15:44

HAL 9000

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Nicht so sehr, aber du hattest es nun mal so aufgeschrieben.

02.05.2012, 16:18

eey

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Hm, dann bringt mir das also quasi auch nichts, richtig?

Habs schon getestet und man hat hier keine arithmetische Folge...

02.05.2012, 17:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von eey
$\begin{eqnarray*} (T_3 - T_2) \cdot e^{-\frac{t}{T_1}} + (T_1 - T_3) \cdot e^{-\frac{t}{T_2}} + (T_2 - T_1) \cdot e^{-\frac{t}{T_3}} = 0 \end{eqnarray*}$

ist auf jeden Fall anzumerken, dass $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist, sieht man ja schnell durch Einsetzen.

Ich nehme aber an, dir ist mehr an echten positiven Lösungen gelegen. Kann man im weiteren von $\begin{eqnarray*} T_1<T_2<T_3 \end{eqnarray*}$ , oder umgekehrt $\begin{eqnarray*} T_1>T_2>T_3 \end{eqnarray*}$ ausgehen? Das würde helfen, eine unnötige Fallunterscheidung zu vermeiden bzw. diverse "o.B.d.A."s heranziehen zu müssen.

03.05.2012, 09:44

eey

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Ja, davon kann man tatsächlich ausgehen!

Also es gilt eigentlich immer (zumindest für die für mich interessanten Fälle):

T1 > T2 > T3

Wenn man sich das Ergebnis für verschiendene Werte T1, T2, T3 plotten lässt sieht man auch sehr schnell dass es immer genau zwei Lösungen gibt:

Einmal die triviale bei t=0 und einmal die interessante bei t=?

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