Stationäre Verteilung der Übergangsmatrix

28.04.2012, 20:24

kiarashayla84

Stationäre Verteilung der Übergangsmatrix

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich leider nicht ohne Hilfe nicht weiter komme.
Berechnen Sie eine stationäre Verteilung folgender Übergangsmatrix P:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,6 & 0,3 & 0,1 \\ 0,3 & 0,4 & 0,3 \\ 0,2 & 0,3 & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also ich hab dann mal so angefangen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,6 & 0,3 & 0,1 \\ 0,3 & 0,4 & 0,3 \\ 0,2 & 0,3 & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also haben wir das LGS:

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{10}x + \frac{3}{10}y + \frac{1}{10}z = x \frac{3}{10}x + \frac{4}{10}y + \frac{3}{10}z = y \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}y + \frac{5}{10}z = z \end{eqnarray*}$

ich hab das jetzt mal in Brüche geschrieben, ich finde damit lässt sich leichter rechnen.

Dann Umformen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{10}x + \frac{3}{10}y + \frac{1}{10}z = 0 \frac{3}{10}x - \frac{6}{10}y + \frac{3}{10}z = 0 \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}y - \frac{5}{10}z = 0 \end{eqnarray*}$
Zeile3-Zeile1
$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{10}x + \frac{3}{10}y + \frac{1}{10}z = 0 \frac{3}{10}x - \frac{6}{10}y + \frac{3}{10}z = 0 \frac{3}{5}x - \frac{3}{5}z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{3}{5}x=\frac{3}{5}z \Rightarrow x=z \end{eqnarray*}$

Ich hab dann x in Zeile 2 eingesetzt und hatte da dann raus:

$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{10}x + \frac{3}{10}y + \frac{1}{10}x = 0 \frac{3}{10}y - \frac{3}{10}x = 0 \Rightarrow \frac{3}{10}y=\frac{3}{10}x \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Also hab ich insgesamz x=y=z

Kann das sein? und wenn ja, wie gehts dann weiter? Wie rechne ich denn die stationäre Verteilung dann aus?
Ich hoffe es kann mir jem. helfen, danke schon mal =)

28.04.2012, 20:27

Math1986

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RE: Stationäre Verteilung der Übergangsmatrix
Du hast beim Umformen was falsch gemacht (zu früh aufgehört).
Wende den Gauß-Algorithmis auf das homogene LGS an.

28.04.2012, 20:49

kiarashayla84

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RE: Stationäre Verteilung der Übergangsmatrix
Hallo,

danke für deine schnelle Antwort.
Leider weiß ich grade nicht so genau, was du mit "zu früh aufeghört" meinst?!
Mehr umformen geht doch nicht, dann ist es doch nur noch einsetzten oder?

28.04.2012, 22:57

Math1986

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RE: Stationäre Verteilung der Übergangsmatrix

Zitat:

Original von kiarashayla84
Dann Umformen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{10}x + \frac{3}{10}y + \frac{1}{10}z = 0 \frac{3}{10}x - \frac{6}{10}y + \frac{3}{10}z = 0 \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}y - \frac{5}{10}z = 0 \end{eqnarray*}$
Zeile3-Zeile1
$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{10}x + \frac{3}{10}y + \frac{1}{10}z = 0 \frac{3}{10}x - \frac{6}{10}y + \frac{3}{10}z = 0 \frac{3}{5}x - \frac{3}{5}z = 0 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist es ja richtig, du musst dann nur noch das ganze System auf Dreiecksgestalt bringen. Siehe auch Algorithmus von Gauß

29.04.2012, 10:36

kiarashayla84

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RE: Stationäre Verteilung der Übergangsmatrix
$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{10}x + \frac{3}{10}y + \frac{1}{10}z = 0 \frac{3}{10}x - \frac{6}{10}y + \frac{3}{10}z = 0 \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}y - \frac{5}{10}z = 0 \end{eqnarray*}$

3 Zeile nach oben geschoben

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}y - \frac{5}{10}z = 0 -\frac{4}{10}x + \frac{3}{10}y + \frac{1}{10}z = 0 \frac{3}{10}x - \frac{6}{10}y + \frac{3}{10}z = 0 \end{eqnarray*}$

2*1Zeile in 2Zeile und 1Zeile* 3/2 in 3 Zeile

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}y - \frac{5}{10}z = 0 0 + \frac{9}{10}y - \frac{9}{10}z = 0 0 - \frac{21}{10}y + \frac{18}{10}z = 0 \end{eqnarray*}$

7/6*2Zeile in 3Zeile

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}y - \frac{5}{10}z = 0 0 + \frac{9}{10}y - \frac{9}{10}z = 0 0 + 0 - \frac{3}{20}z = 0 \end{eqnarray*}$

soo jetzt hab ich die Dreiecksgestalt, hoffe auch das ich mich nicht verrechnet hab?! und wie muss ich jetzt weiter machen, um die stationäre Verteilung ausrechnen zu können?

29.04.2012, 11:06

Math1986

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RE: Stationäre Verteilung der Übergangsmatrix

Zitat:

Original von kiarashayla84
2*1Zeile in 2Zeile und 1Zeile* 3/2 in 3 Zeile

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}y - \frac{5}{10}z = 0 0 + \frac{9}{10}y - \frac{9}{10}z = 0 0 - \frac{21}{10}y + \frac{18}{10}z = 0 \end{eqnarray*}$

Da ist ein Rechenfehler drin, du musst " 1Zeile* (-3/2) in 3 Zeile" rechnen.
Danach musst du, wie ich nun schon zweimal erzählt habe, den Gauß-Algorithmus zu Ende führen, d.h. du berechnest zunächst den Wert für z, setzt den dann in die darüberliegende zeile ein, und machst das selbe dann mit dem y.

Einfaches Lösen eines Gleichungssystems.

29.04.2012, 17:17

kiarashayla84

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RE: Stationäre Verteilung der Übergangsmatrix
Hi, nee Rechenfehler ist da nicht drin, hab mich nur verschrieben und das "minus" vergessen..

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}y - \frac{5}{10}z = 0 0 + \frac{9}{10}y - \frac{9}{10}z = 0 0 + 0 - \frac{3}{20}z = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0x + 0y - \frac{3}{20}z = 0 \Rightarrow z=0 \end{eqnarray*}$

z eingesetzt in 2 Zeile

$\begin{eqnarray*} 0x + \frac{9}{10}y - \frac{9}{10}z = 0 0x + \frac{9}{10}y - 0 = 0 \Rightarrow y=0 \end{eqnarray*}$

z und y in Zeile 1

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{10}x + 0 - 0 = 0 \Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

Also habe ich x=y=z=0

Wie gehts für die stationäre Verteilung weiter? was muss ich machen, wenn ich x,y,z ausgerechnet hab?

29.04.2012, 18:50

Math1986

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RE: Stationäre Verteilung der Übergangsmatrix
Die Lösung x=y=z=0
ist zwar richtig, diese ist jedoch immer stationär und daher auch triviale Lösung genannt.

Bitte schaue dir nochmal an, wie du den Lösungsraum eines homogenen Gleichungssystems berechnest.

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