Verteilung Spannweite berechnen

29.04.2012, 14:19

Gast11022013

Verteilung Spannweite berechnen

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig und identisch exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Dichte

$\begin{eqnarray*} f_X(x)=\begin{cases}4e^{-4x}, & \text{falls }x\geq 0\\0, & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die Verteilung der Spannweite $\begin{eqnarray*} X_{(n)}-X_{(1)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo,

also ich habe bereits allgemein gezeigt, daß für die Dichte von $\begin{eqnarray*} D:=X_{(n)}-X_{(1)} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} f_{D}(y)=n(n-1)\int_{-\infty}^{\infty}(F(x)-F(x-y))^{n-2}f(x-y)f(x)\, dx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} y:=x_n-x_1, x:=x_n \end{eqnarray*}$ .

Eigenbtlich müsste es ja jetzt relativ leicht sein, die Aufgabe zu lösen, aber ich stecke so ein bisschen fest, leider; was ich bereits habe, ist Folgendes:

$\begin{eqnarray*} f_{D}(y)=n(n-1)\int_{-\infty}^{\infty}(F(x)-F(x-y))^{n-2}f(x-y)f(x)\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n(n-1)\int_{0}^{\infty}(1-e^{-4x}-F(x-y))^{n-2}f(x-y)4e^{-4x}\, dx \end{eqnarray*}$

Wie kann man da weitermachen?

29.04.2012, 16:35

Gast11022013

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Ich habe noch ein bisschen rumgetüfftelt, und denke mir, daß es so weitergeht:

$\begin{eqnarray*} =n(n-1)\int_{y}^{\infty}(1-e^{-4x}-1+e^{-4(x-y)})^{n-2}\cdot 16e^{-4(x-y)}e^{-4x}\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n(n-1)\int_{y}^{\infty}(e^{-4x}\cdot(e^{4y}-1))^{n-2}16e^{4y-8x}\, dx \end{eqnarray*}$

Hier stecke ich wieder fest. Big Laugh

Edit:

Ein bisschen weiter komme ich doch noch:

$\begin{eqnarray*} =n(n-1)\int_{y}^{\infty}(e^{-4x})^{n-2}(e^{4y}-1)^{n-2}16e^{4y}e^{-8x}\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =16n(n-1)(e^{4y}-1)^{n-2}e^{4y}\int_{y}^{\infty}e^{-4nx}\, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt mal das Integral berechne, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a\to\infty}\int_{y}^{a}e^{-4nx}\, dx=\lim_{a\to\infty}\left(\frac{0.25e^{-4ny}}{n}-\frac{0.25e^{-4an}}{n}\right)=\frac{0.25e^{-4ny}}{n} \end{eqnarray*}$ ,

sodaß ich letzlich komme auf

$\begin{eqnarray*} f_{D}(y)=16n(n-1)(e^{4y}-1)^{n-2}e^{4y}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{4}e^{-4ny}\right)=4(n-1)(e^{4y}-1)^{n-2}e^{(4-4n)y} \end{eqnarray*}$

Wobei diese Rechnungen nur gelten, wenn $\begin{eqnarray*} y > 0 \end{eqnarray*}$ - richtig?

Was ist, wenn $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Hat man dann:

$\begin{eqnarray*} f_{D}(y)=4(n-1)(e^{4y}-1)^{n-2}e^{4y} \end{eqnarray*}$ ?

(also gleiche Rechnung, nur die Integrale von 0 bis unendlich und nicht von y bis unendlich?)

Vielleicht kann mir ja jemand sagen, ob das korrekt ist.

29.04.2012, 18:24

Gast11022013

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Jetzt habe ich so viel zugefügt und herumeditiert, daß ich jetzt nochmal sage:

So, wie es da jetzt in den letzten beiden Beiträgen steht, ist meine endgültige Version.

Ich würde mich sehr über ein Feedback freuen!

29.04.2012, 21:31

Gast11022013

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Niemand da, der mal eben ein Wörtchen dazu verlieren könnte, was ich aufgeschrieben habe?

Es ist sonst nicht meine Art zu drängeln, aber ich benötige das sehr dringend. Augenzwinkern

30.04.2012, 10:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis2010
Was ist, wenn $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Naja, $\begin{eqnarray*} P(X_{(n)}-X_{(1)}<0)=0 \end{eqnarray*}$ sollte ja wohl schon laut Definition der geordneten Stichprobe klar sein.

Zitat:

Original von Dennis2010
sodaß ich letzlich komme auf

$\begin{eqnarray*} f_{D}(y)=16n(n-1)(e^{4y}-1)^{n-2}e^{4y}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{4}e^{-4ny}\right)=4(n-1)(e^{4y}-1)^{n-2}e^{(4-4n)y} \end{eqnarray*}$

Ich komme beim Nachrechnen auf

$\begin{eqnarray*} f_{D}(y)=4(n-1)(1-e^{-4y})^{n-2}e^{-4y} \end{eqnarray*}$ ,

das dürfte dasselbe sein.

30.04.2012, 11:09

Gast11022013

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Zitat:

Original von HAL 9000
Naja, $\begin{eqnarray*} P(X_{(n)}-X_{(1)}<0)=0 \end{eqnarray*}$ sollte ja wohl schon laut Definition der geordneten Stichprobe klar sein.

Danke, stimmt. Das ist wirklich klar. Da habe ich nicht nachgedacht. Hammer

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich komme beim Nachrechnen auf

$\begin{eqnarray*} f_{D}(y)=4(n-1)(1-e^{-4y})^{n-2}e^{-4y} \end{eqnarray*}$ ,

das dürfte dasselbe sein.

Vielen lieben Dank.

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