mon. fallende Fkt.folge konvergiert pkt.weise gegen Null dann auch glm.

29.04.2012, 15:23	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
mon. fallende Fkt.folge konvergiert pkt.weise gegen Null dann auch glm. Meine Frage: Hallo Leute ich soll folgende Aussage beweisen: Sei $\begin{eqnarray} D \subseteq \mathbb R^d \end{eqnarray}$ kompakt und $\begin{eqnarray} (f_n) \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Folge stetiger Funktionen, $\begin{eqnarray} f_n : D \to \mathbb R \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} (n \in \mathbb N) \end{eqnarray}$ , die punktweise gegen 0 konvergiert. Zeigen Sie, dass dann $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ gleichmäßig gegen 0 konvergiert. Meine Ideen: An dem Beispiel: $\begin{eqnarray} f_n(x) = \frac{x}{n} \end{eqnarray}$ sieht man sehr gut, dass die Kompaktheit (also insbesondere die Beschränktheit) des Definitionsbereichs eine Rolle spielt: $\begin{eqnarray} f_n(x) = \frac{x}{n} \end{eqnarray}$ konvergiert also punktweise gegen Null, das sieht man sofort, weil 1/n eine Nullfolge ist und x bei pktweiser Konvergenz fest ist. zur glm Konvergenz betrachte ich ja immer: $\begin{eqnarray} \|f_n(x) - f(x) \| < \epsilon \end{eqnarray}$ , da ich ein beschränktes Intervall habe, kann ich leicht abschätzen: $\begin{eqnarray} \|f_n(x) - f(x) \|= \|f_n(x)\| = \| \frac{x}{n} \| \leq \frac{b}{n} = b \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray}$ wenn das kompakte Intervall I = [a,b] ist. So nun ist die Frage, wie ich das allgemein Formuliere: Also ich weiß ja direkt, dass es punktweise gegen 0 konvergiert, dann kann ich wieder den Betrag betrachten: $\begin{eqnarray} \|f_n(x) - f(x) \| = \|f_n(x) \| \leq f_n(b) < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_n(b) \end{eqnarray*}$ geht ja gegen Null, was ich aus der punktweisen Konvergenz schließen kann, also ist es kleiner als mein beliebig kleines Epsilon Stimmt das von der Idee her? Kann man natürlich dann noch strukturierter aufschreiben
29.04.2012, 15:27	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach dir mal genau klar, was du zeigen musst: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \forall n \geq n_0 \forall x \in D: \|f_n(x)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Die Folge ist monoton fallend, das heißt, es gilt $\begin{eqnarray} f_n (x) \geq f_{n+1} (x) \end{eqnarray}$ für alle n und x aus D. Betrachte mal für $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} U_n := \{ x \in D \| f_n(x) < \epsilon \} \end{eqnarray}$ . Was hat die für Eigenschaften?
29.04.2012, 15:41	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ sind doch gerade alle x für die die Funktionenfolge auch glm. gegen Null konvergiert oder?
29.04.2012, 15:43	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Steht doch da, was $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ ist. Ist für ein vorgegebenes beliebiges $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ die Menge der x, für die $\begin{eqnarray} f_n(x) < \epsilon \end{eqnarray}$ gilt. Was kann denn eine Menge für Eigenschaften haben? Und welche Beziehung haben $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_{n+1} \end{eqnarray}$ zueinander?
29.04.2012, 15:52	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an, dass $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ auch kompakt ist, weil ja D kompakt ist und U_n für x aus D definiert ist. und wo ich mir nicht sicher bin ist, ob $\begin{eqnarray} U_{n+1} \subset U_n \end{eqnarray}$ gilt..
29.04.2012, 16:04	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben weil da nicht "kleiner gleich Epsilon", sondern "kleiner Epsilon" steht, ist die Menge nicht kompakt, sondern offen bzgl. der Standardtopologie auf D! Kann man sich anhand eines Beispiels mal klar machen. Und welche Beziehung gilt jetzt zwischen $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_{n+1} \end{eqnarray}$ ?
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30.04.2012, 11:45	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Neuer Versuch, mit anderer Definition: $\begin{eqnarray} sup \| f_n - f(x) \| \to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ so mein f(x) = 0 weiß ich ja aus der punktweisen Konvergenz. Also: $\begin{eqnarray} sup \|f_n(x)\| \to 0 \end{eqnarray}$ folgt dies nicht schon aus der punktweisen Konvergenz gegen Null und der Eigenschaft, dass f_n monoton fällt? Danke
30.04.2012, 17:06	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktionen f_n sind ja stetig, auf einem kompakten Intervall, d.h. sie nehmen ihr Maximum auf dem Intervall an, d.h. man kann eine Folge (M_n) als Folge der Maxima definieren. Diese konvergiert gegen 0 (das ist noch zu zeigen, z.B. indem du Monotonie (fallend) zeigst (von M_n, verwende dazu die von f_n) und die Tatsache, dass 0 die größte untere Schranke der Folge ist [hierzu punktweise Konvergenz verwenden]). Argumentation über Widerspruch könnte hilfreich sein.

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