Integration - Brauche Hilfe bei Aufgabe

29.04.2012, 15:47

Nord.Kind

Integration - Brauche Hilfe bei Aufgabe

Meine Frage:
Ich soll folgende FunktionIntegrieren

$\begin{eqnarray*} \int_0 \! \sqrt{25-x²} \, dx \end{eqnarray*}$

Mit den bekannten Rechenregeln ist mir dies anscheinend nicht möglich.

Partielle Integration fordert zwei Funktionen U(x)V(x).

Substitution fordert zwei verwandte Funktionen g(x) mit f(g(x)g'(x)

Die zweite Substitutionsvariante funktioniert nur mit einpotenzigem x
f(ax+b)

Meine Ideen:
Also habe ich mich selber auf die Suche gemacht.

Mein Weg war folgender:

Schritt I.

$\begin{eqnarray*} \int_0 \! \sqrt{25-x²} \, dx \end{eqnarray*}$ "halbwegs aufgeleitet" (KA wie ich das nennen soll^^ Jedenfalls muss sich ja einiges in der Ableitung der Aufleitung wegkürzen.) Mein Zwischenergebnis war:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{25-x²} z(x)= \frac{-2}{6x} \left(25-x²\right)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z'(x)= \frac{2}{6x^2} \left(25-x²\right)^{\frac{3}{2}}+(25-x²)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Mit:
$\begin{eqnarray*} y(x)= \frac{2}{6x^2} \left(25-x²\right)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
folgert

$\begin{eqnarray*} \int_0 \! g(x) \, dx = z(x) - \int_0 \! y(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0 \! y(x) \, dx = \int_0 \! \frac{2}{6x^2} \left(25-x²\right)^{\frac{3}{2}} \, dx mit \int_0 \! v'(x)u(x) \, dx = u(x)v(x)-\int_0 \! v(x)u'(x) \, dx folgt: \frac{2}{6x} (25-x^2)^\frac{3}{2} - \int_0 \! -(25-x^2)^\frac{1}{2} \, dx = \frac{2}{6x} (25-x^2)^\frac{3}{2} + \int_0 \! (25-x^2)^\frac{1}{2} \, dx \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_0 \! y(x) \, dx = \frac{2}{6x} (25-x^2)^\frac{3}{2} + \int_0 \! g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_0 \! g(x) \, dx = z(x) - z(x) + \int_0 \! g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Und damit:

0=0...super...

Ich hab keine Ahnung wie ich das lösen soll^^

29.04.2012, 15:54

Nord.Kind

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Mh...ok ich als schlauer Idiot hab grad noch weiter nachgedacht....

binomischer blasatz........^^

Ok

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ (5+x)(5-x)} = (5+x)^\frac{1}{2} (5-x)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und damit kann man dann Partielle Integration machen.

Dennoch! Ich möchte gerne wissen ob und wie mein obiger Ansatz zu einer Lösung fürhen kann.

Immerhin ist eine binomische Formel ja nicht immer so einfach zu finden wie in diesem Beispiel.

Und selbst hier hat es mich Überwindung gekostet sie zu sehen^^

bin also nochmals ausdrücklich sehr dankbar für weitere Hilfe!!!

29.04.2012, 15:54

riwe

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RE: Integration - Brauche Hilfe bei Aufgabe
eine möglichkeit wäre eventuell die substitution:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{5}=cos\tau \end{eqnarray*}$

29.04.2012, 19:14

Nord.Kind

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Mh ok ich hab mich da mal rangemacht...auch wenn mir dieser Weg wohl mehr Zeit gekostet hat, als es mir weiterhilft, da es nur weitere Fragen aufgeworfen hat.

Meine Neugierde ist natürlich hoch, allerdings bringt mich das für die Klausur wohl nur auf Bäume auf denen keine Punkte wachsen...seis drum.

Hier meine Idee dazu.

$\begin{eqnarray*} x=5cos(t) \end{eqnarray*}$
Hier habe ich schon erste Schwierigkeiten wie ich dx berechnen soll...

Keinen blassen Schimmer wie ich entscheiden soll welcher Weg richtig ist.
Da wäre mir ein Hinweis sehr lieb.

1.Weg:
$\begin{eqnarray*} 5cos(t)=x \frac{dcos(t)}{dx}=1 \Rightarrow dcos(t)=dx \end{eqnarray*}$

2.Weg:

$\begin{eqnarray*} 5cos(t)=x \Rightarrow arccos(\frac{x}{5})=t \Rightarrow \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{5}{x})^2}} \Rightarrow \frac{dt}{-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{5}{x})^2}}}= dt*-\sqrt{1-(\frac{5}{x})^2} =dx \end{eqnarray*}$

3.Weg:

$\begin{eqnarray*} 5cos(t)=x \Rightarrow \frac{dx}{dt}=-5sin(t) \Rightarrow dx=-5sin(t)dt \end{eqnarray*}$

Rechnung
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_0 \! \sqrt{25-25(cos^2(t)} \, dx \Rightarrow \int_0 \! \sqrt{25-25(1-sin^2(t)} \, dx \Rightarrow \int_0 \! \sqrt{25sin^2(t)} \, dx \Rightarrow \int_0 \! 5sin(t) \, dx = \int_0 \! 5cos(t-90) \, dx \end{eqnarray*}$

Joah wies hier weitergeht hängt von dem Weg ab, den man wählt.

Allerdings - wenn man den zweiten Weg nimmt hat man nun t und x als Variablen.
Wie geht man damit um?

Außerdem weiß ich immernoch nicht, wie ich Integrale der Form

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sqrt{x_{1}^n+x{2}^(n-1)....+a_{n}^0} \, dx \end{eqnarray*}$

berechne.

30.04.2012, 10:50

Mulder

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Der Weg von riwe ist der einfachste bei diesem Integral. Also solltest du den Weg nicht so runterputzen.

Zitat:

Original von Nord.Kind
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dx=-5sin(t)dt \end{eqnarray*}$

Ja, und warum ersetzt du das dx dann nicht auch im folgenden mal?

Zitat:

Rechnung
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_0 \! \sqrt{25-25(cos^2(t)} \, dx \end{eqnarray*}$

Nein. Stattdessen:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{25-25(cos^2(t)} (-5sin(t)) dt \end{eqnarray*}$

liefert

$\begin{eqnarray*} -25 \int \sqrt{1-cos^2(t)} (sin(t)) dt \end{eqnarray*}$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras unter der Wurzel und integriere den sin^2 anschliessend mit partieller Integration oder indem du die sin-Potenz umschreibst (schlag in einer Formelsammlung nach, da gibt es so einiges).

Edit

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sqrt{x_{1}^n+x{2}^(n-1)....+a_{n}^0} \, dx \end{eqnarray*}$

Fuer das Gewusel haettest du jetzt gerne eine allgemein gueltige Loesungsformel, oder wie? Hach ja, waer das schoen, wenn das alles so einfach waere. Augenzwinkern

Einfach ueben und immer wieder Beispiele rechnen.

30.04.2012, 11:32

Nord.Kind

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Vielen Dank das hat mir schon sehr viel weitergeholfen!

Jaa...stimmt nachdem ich mich weiter in das Thema reingearbeitet hatte ist 5cos(t) wirklich der einfachste Weg gewesen.

Versteht mich nicht falsch - ich liebe es solchen Dingen auf den Grund zu gehen - also selbst wenn dies nicht der einfachste Weg gewesen wäre hätte ich ihngerne ausgeführt nur um dabei zu lernen und meine Neugierde zu befriedigen.

Allerdings habe ich gerade dafpr schon öfter Kritik einfahren müssen - weswegen ich versuche mittlerweile ein wenig mehr auf den Studifahrplan zu achten.
Und ich als noob in diesem Gebiet hatte das Gefühl es führe in die falsche Richtung^^

Ein dickes Sorry dafür.

Aber back to topic.

$\begin{eqnarray*} -25\int_0 \! \sqrt{1-cos(t)^2}(sin(t)) \, dt \end{eqnarray*}$
soweit war ich ja quasi auch schon - nur wusste ich ja nicht wie ich dt nun richtig berechne.

weitergehend würde ich dann auch herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} -25\int_0 \! sin(t)^2 \, dt \end{eqnarray*}$

Nun noch eine Frage zu dem dx/dt

warum hier dx/dt und nicht dt/dx wie in den meisten anderen Fällen?

Hier 3 Beispiele aus Wikipedia
http://dl.dropbox.com/u/4934308/matheboard/mathe3.jpg

In den ersten beiden wird dx mit dt/dx berechnet - in der dritten via dx/dt.

Wie ist da die Regel? Woran kann ich mich halten? Was ist da die Überlegung?

Ich werd da nicht schlau draus.

Vielen Dank nochmal für die Hilfe!

30.04.2012, 23:23

Nord.Kind

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Für Interessierte:

Hier wurde meine Frage beantwortet!

Schönen abend noch!

01.05.2012, 11:24

Nord.Kind

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Wann dt/dx und wann dx/dt - Substitution

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