Anwendung der Differentialrechnung (Extemwertprobleme)

24.01.2007, 13:20

Nightbreezer

Anwendung der Differentialrechnung (Extemwertprobleme)

Hallo,
Habe folgende Aufgabe:

Welche Punkte des Graphen der Funktion f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-1}{x} \end{eqnarray*}$ liegen dem Kordinaten ursprung am nächsten?

Also wir sollten jetzt erstmal eine Skizze amchen schön und gut hier ist sie:

http://img440.imageshack.us/img440/9990/10005174uw.th.jpg

Nur was ist jetzt wie gehts weiter? Muss man da irgentwie nen dreieck reinlegen oder so?

Bitte um ne kleine Hilfe.

Danke!

24.01.2007, 13:25

uwe-b

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Hallo, du sucht die Punk(e) auf der Fkt., die vom Ursprung am kürzesten sind.

Also $\begin{eqnarray*} P(x,\frac{x^2-1}{x}) \end{eqnarray*}$ sind alle Pkte auf der Fkt.

$\begin{eqnarray*} O(0,0) \end{eqnarray*}$ Ursprung.

Dann ist der Abstand (Pythagoras).

Davon kannst du dann das Minimum bestimmen.

Edit: Latex vergessen Augenzwinkern

24.01.2007, 13:25

klarsoweit

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RE: Anwendung der Differentialrechnung (Extemwertprobleme)
Wenn du den Punkt (x; f(x)) hast, wie berechnest du von dem den Abstand zum Ursprung?

24.01.2007, 14:01

Nightbreezer

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Klar Pythagoras, aber vorher müssen doch noch senkrechte eingefügt werden oder? Eine die Druch den Ursprung geht und eine senkrechte zur Geraden. Dort wird dann der Schnittpunkt gesucht udn Pythagoras angewendet oder?

Nur weiß ich nicht mehr wie das geht.

24.01.2007, 14:07

vektorraum

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Zitat:

Original von Nightbreezer
Klar Pythagoras, aber vorher müssen doch noch senkrechte eingefügt werden oder? Eine die Druch den Ursprung geht und eine senkrechte zur Geraden. Dort wird dann der Schnittpunkt gesucht udn Pythagoras angewendet oder?

Nur weiß ich nicht mehr wie das geht.

Wieso - brauchst du doch gar nicht. Wenn du einen beiliebigen Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_0,f(x_0)) \end{eqnarray*}$ auf dem Funktionsgraphen wählst, dann kannst du doch einfach eine Seite deines Dreiecks wählen, die gerade ein Stückchen der y-Achse ist, und die andere eine zur x-Achse parallele Gerade (Strecke). Übrigens gibt es auch eine schöne Formel, die sich daraus herleitet, wie man denn den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet Augenzwinkern

24.01.2007, 14:32

klarsoweit

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Und noch ein Tipp:
Wenn d(x) die Funktion für den Abstand ist, dann wird d minimal, wenn auch d² minimal wird. Und letzteres läßt sich etwas einfacher berechnen. Augenzwinkern

24.01.2007, 14:45

Nightbreezer

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Also würde man das Dreieck so da einzeichenen:

http://img180.imageshack.us/img180/8770/10005181fl.th.jpg

und dann ist d= ? $\begin{eqnarray*} \sqrt{2,1+2,5} \end{eqnarray*}$

24.01.2007, 15:03

klarsoweit

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Wenn dein Punkt (2,5 | 2,1) ist, dann stimmt das so nicht. Denk nochmal an den Phythagoras. Augenzwinkern

24.01.2007, 15:25

Nightbreezer

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Ja die Potenzen fehlen also:

d= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2,5^2+2,1^2} \end{eqnarray*}$

Nur ist ja nicht nach diesem Punkt gefragt sondern, nach dem nächstlegenden.

Also müsste da doch irgentwo nen x vorkommen oder?

24.01.2007, 15:55

klarsoweit

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RE: Anwendung der Differentialrechnung (Extemwertprobleme)

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn du den Punkt (x; f(x)) hast, wie berechnest du von dem den Abstand zum Ursprung?

So könnte ein Punkt natürlich auch aussehen.

Und wie gesagt: mit d² rechnet es sich besser.

24.01.2007, 15:58

Nightbreezer

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Achso jetzt habe ich es:

d(x)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+(\frac{x^2-1}{x})^2 } \end{eqnarray*}$

Stimmt doch oder?

24.01.2007, 16:01

klarsoweit

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Du läßt gerne Quadrate weg, oder?

Und noch einmal: arbeite lieber mit d²(x).

24.01.2007, 16:43

Nightbreezer

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Ich übersehe die immer wenn ich die Formel in Latex eingebe.

Also dann:

$\begin{eqnarray*} d^2(x)=x^2+(\frac{x^2-1}{X} )^2 \end{eqnarray*}$

24.01.2007, 18:48

vektorraum

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@Nightbreezer:

Nun soweit stimmt ja deine Zielfunktion. Jetzt heißt es nur noch ableiten und das Minimum zu bestimmen! Denk beim Ableiten an die Ketten- und Quotientenregel Augenzwinkern

25.01.2007, 08:11

klarsoweit

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Alternativ würde ich vorher umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-1}{x} = x - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Das läßt sich dann auch mit der binomischen Formel gut quadrieren. Augenzwinkern

25.01.2007, 14:08

Nightbreezer

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Muss doch leider nochmal nachhacken. Wenn ich die Funktion jetzt ableite was passiert dem mit dem d^2(x) wird das zu 2d(x) oder wie schaut das aus?

25.01.2007, 14:50

klarsoweit

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Nicht wirklich. Setze d²(x) = f(x) und du hast eine ordentliche Funktion.

$\begin{eqnarray*} d^2(x)=f(x)=x^2+(\frac{x^2-1}{x} )^2 = x^2+(x-\frac{1}{x})^2 \end{eqnarray*}$

Übrigens wird "nachgehakt" und nicht "nachgehackt". Hat was mit Haken zu tun. Augenzwinkern

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