Beweis des Assoziativgesetzes der Komposition |
| 29.04.2012, 17:26 | MacMike | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis des Assoziativgesetzes der Komposition also, wir haben Abbildungen: f: L -> M g: M -> N h: N -> X Da nun also f eine Abbildung von L -> M und g eine Abbildung von M -> N ist, gilt g o f: L -> N. Und da h eine Abbildung von n -> X ist, gilt h o (g o f)). Da g eine Abbildung von M -> N ist und h eine Abbildung von N -> X, gilt h o g. und da f eine Abbildung von L -> M ist, gilt (h o g) o f. es sind also beide Kompositionen definiert ( also h o (g o f) und (h o g) o f ). es Gilt jetzt also zu beweisen h o (g o f) = (h o g) o f soweit ist das alles auch klar, aber jetzt kommt der verwirrende part in meinen unterlagen: ich würde jetzt einfach die linke und rechte Seite einzeln bearbeiten und dann zeigen, dass es das selbe ist. also: sei l E L (h o (g o f)) (l) = h ( (g o f) (l) ) = h (g (f (l) ) ) ((h o g) o f) (l) = (h o g) (f (l) ) = (h (g (f (l) ) ) ) für l haben wir nichts weiteres definiert und daher gilt (h o (g o f)) (l) = ((h o g) o f) (l) für alle l E L. ABER: in meinen unterlagen wird ein Zwischenschritt eingebaut: f `= h o g und g `= g o f Sei l E L (h o (g o f)) (l) = (h o g `) (l) = h (g `(l)) = h ( (g o f) (l) ) = h (g (f (l) ) ) ((h o g) o f) (l) = (f `o f ) (l) = f `(f (l) ) = (h o g) (f (l) ) = (h (g (f (l) ) ) ) jetzt kommt meine frage: Ist es wichtig, dass ich f `und g `setze oder kann Ichs auch weglassen und so machen wie ich es oben beschrieben habe? es ist doch eigentlich nur eine Erleichterung, dass ich mich nicht mit den ganzen klammern verfranse. die zweite frage die sich aus der ersten ergibt: falls das setzten von f `und g ` wichtig ist, gibt es eine bestimmte Richtlinie welche er beiden kompistionen ich g `oder f `nenne oder hätte ich die auch a und b nennen können? |
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