grenzwert einer Folge

29.04.2012, 17:46

Sascha17

grenzwert einer Folge

Meine Frage:
Ich habe probiert den grenzwert dieser Folge zu berechnen.
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac{5a}{2*(3n^{4}+a)^{1/4}+7 } \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht wie Wolfram das berechnet hat.

Meine Ideen:
Nicht ganz meine Idee. Leider unglücklich

WolframAlpha sagt mir als Lösung: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2*(3)^{1/4}} \end{eqnarray*}$

29.04.2012, 18:23

Equester

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Sicher dass wolfram das ausspuckt?
Schau dir den Zählergrad an und schau dir denn Nennergrad an. Die Antwort ist
dann schnell ersichtlich Augenzwinkern

.

Edit: Wolfram gibt mir recht verwirrt

29.04.2012, 18:42

Sascha17

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RE: grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von Sascha17
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac{5a}{2*(3a^{4}+a)^{1/4}+7 } \end{eqnarray*}$

WolframAlpha sagt mir als Lösung: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2*(3)^{1/4}} \end{eqnarray*}$

Hatte ein Fehler bei der Eingabe.

29.04.2012, 19:02

Valdas Ivanauskas

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RE: grenzwert einer Folge
Einfach mal kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5n}{2\sqrt[4]{3n^4+n}+7}=\frac 5{2\sqrt[4]{3+\frac 1{n^3}}+\frac 7n} \end{eqnarray*}$

und dann bleibt nur noch der Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3+\frac 1{n^3}} \end{eqnarray*}$

ermittelt zu werden.

29.04.2012, 19:04

Equester

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Hatte mich schon gewundert Augenzwinkern

Radiziere teilweise im Nenner. Was bleibt übrig? Was erkennst du dann?

29.04.2012, 20:08

Sascha17

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so wäre dann rechneweg!?

$\begin{eqnarray*} = \frac{5a}{2*\sqrt[4]{3a^{4}+a }+7 } = \frac{5}{\frac{2*\sqrt[4]{a(3a^{4}+1 )} }{a} +\frac{7}{a} } = \frac{5}{2*\sqrt[4]{3a^{3}+1 }+\frac{7}{a}} = \frac{5}{2*\sqrt[4]{3+\frac{1}{a^{3} } }+\frac{7}{a}} \end{eqnarray*}$

Hoffe ich hab jz nix falsch hingeschreiben ^^

Könntet Ihr mir noch erklären warum $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{3}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{7}{a} \end{eqnarray*}$ einfach wegfallen?

lg sascha

29.04.2012, 20:12

Equester

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Zweite auf dritte Zeile. Wo ist da das a hin? Du hast einmal a in der vierten Wurzel
und kürzt es einfach mit einem a der Potenz 1 geschockt

.

Wenn du das eine a in die Wurzel reinholst, hast du a^4!

Du kommst dann allerdings auf deine letzte Zeile.

Zitat:

Könntet Ihr mir noch erklären warum $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{3}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{7}{a} \end{eqnarray*}$ einfach wegfallen?

Überlege dir, was passiert, wenn a gegen unendlich geht Augenzwinkern

.

(Der Limes kommt übringes in jede Zeile. Zumindest muss er aber in einem
Extraschritt gesondert angekündigt werden.)

29.04.2012, 20:38

Sascha17

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Zitat:

Original von Equester
Zweite auf dritte Zeile. Wo ist da das a hin? Du hast einmal a in der vierten Wurzel
und kürzt es einfach mit einem a der Potenz 1 geschockt .

Wenn du das eine a in die Wurzel reinholst, hast du a^4!

Du kommst dann allerdings auf deine letzte Zeile.

in der zweiten Zeile müsste doch eigentlich das stehen
$\begin{eqnarray*} = \frac{5}{\frac{2*\sqrt[4]{a(3a^{3}+1 )} }{a} +\frac{7}{a} } \end{eqnarray*}$
Ich habe vergessen die Potenz um eins zu verkleiner, weil ich ja ein a ausgeklammert habe.

Und dann habe ich das ausgeklammerte a in der Wurzel durch das a aus dem Zähler ausgeglichen.
Und dadurch habe ich dann das rausbekommen.
$\begin{eqnarray*} = \frac{5}{2*\sqrt[4]{3+\frac{1}{a^{3} } }+\frac{7}{a}} \end{eqnarray*}$

29.04.2012, 20:52

Equester

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Den Fehler hatte ich nicht mal bemerkt, da ich von den anderen Fehlern
so geblendet war Big Laugh

.

$\begin{eqnarray*} = \frac{5a}{2*\sqrt[4]{3a^{4}+a }+7 } =\frac{5a}{2a*\sqrt[4]{(3+\frac{1}{a^3} )} +7 } \end{eqnarray*}$

Du siehst, dass ich hier a^4 ausgeklammert habe, und diese dann aus der Wurzel rausgezogen hab?
Es ergibt sich dann obiges! Augenzwinkern

29.04.2012, 21:19

Sascha17

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RE: grenzwert einer Folge
Okay danke.
Du willsst mir damit nur sagen, dass ich so wie ich ausgeklammert habe das nicht darf smile

Eins möchte ich noch wissen Augenzwinkern

Sagt man jetzt die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{5n}{2*(3n^{4}+n)^{1/4}+7 } \end{eqnarray*}$ hat den Grenzwert bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 2*\sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ und konvergiert gegen 3 ???

29.04.2012, 21:25

Equester

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Genau, das wollte ich damit sagen Augenzwinkern

.

Warum sollte die Folge gegen 3 konvergieren? Sie konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} 2*\sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ . Das hast du doch gerade ausgerechnet^^

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac{5a}{2*(3a^{4}+a)^{1/4}+7 }=2*\sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$

Am Ende brauchst du keinen Limes mehr zu schreiben. Den Limes hast du hier ja
schon angewendet (deswegen fällt unter anderem 7/a weg Augenzwinkern

).

Klar?

29.04.2012, 21:32

Sascha17

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Ich danke dir! Gott

Die Aufgabe ich einfach nur *******.

Aber soweit ist mir das jz erstmal klar ^^

29.04.2012, 21:40

Equester

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Schau dir noch ein paar ähnliche Aufgaben an Augenzwinkern

.

Gerne,
Wink

30.04.2012, 09:03

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Equester
Warum sollte die Folge gegen 3 konvergieren? Sie konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} 2*\sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ . Das hast du doch gerade ausgerechnet^^

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac{5a}{2*(3a^{4}+a)^{1/4}+7 }=2*\sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$

Irgendwie ist der Zähler auf der Strecke geblieben...

Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \frac{5a}{2\sqrt[4]{3a^4+a}+7 }=\frac 5{2\sqrt[4]{3}} \end{eqnarray*}$

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