Partialbruchzerlegung dreifacher Nullstelle

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29.04.2012, 18:58	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung dreifacher Nullstelle Meine Frage: Guten Abend! Meine Aufgabe ist folgendes Integral mit Hilfe von Partialbruchzerlegung zu bestimmen. $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{x}{(x+1)^{3} } \, dx \end{eqnarray}$ Leider ist das Skript äußerst spärlich mit Informationen zur Lösung des Problems ausgestattet. Generell wird in folgende Form aufgelöst. $\begin{eqnarray} \frac{A_{1}}{(x-x_{1})} + \frac{A_{2}}{(x-x_{2})} + ... + \frac{A_{n}}{(x-x_{n})} \end{eqnarray}$ Für mehrfache Nullstellen wird auf folgenden Ansatz hingewiesen. $\begin{eqnarray} \frac{A_{1}}{(x-x_{1})} + \frac{A_{2}}{(x-x_{1})^{2}} + ... + \frac{A_{n}}{(x-x_{1})^{n}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Allerdings erhalte ich, bringe ich die A's auf einen gemeinsamen Hauptnenner und multipliziere den Zähler aus, ungültige Informationen. So gibt mir Ausklammern der x höherere Ordnung als der ersten Ausdrücke aus denen hervorgeht, dass alle A's = 0 sein müssen, was sich jedoch nicht mit dem Term vor dem x erster Ordnung deckt. Könnt ihr mir sagen wie ich von folgendem Ausdruck aus weiter vorgehen muss? $\begin{eqnarray} \frac{A_{1}}{(x-x_{1})} + \frac{A_{2}}{(x-x_{1})^{2}} + \frac{A_{3}}{(x-x_{1})^{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2,3} = -1 \end{eqnarray}$ Vielen Dank! Edit Equester: Latexklammern gesetzt.
29.04.2012, 19:03	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{A_{1}}{(x-x_{1})} + \frac{A_{2}}{(x-x_{1})^{2}} + \frac{A_{3}}{(x-x_{1})^{3}}=\frac{x}{(x+1)^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2,3} = -1 \end{eqnarray}$ Multipliziere mit dem Hauptnenner und mache einen Koeffizientenvergleich .
29.04.2012, 19:06	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
Da habe ich mich laienhaft wohl missverständlich ausgedrückt. Dies habe ich selbstverständlich schon getan, allerdings erhalte ich auf diesem Wege Aussagen, ich habe sie nicht mehr alle auf dem Zettel, aber z.B. $\begin{eqnarray} A_{1}x^{5} \to A_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ , welche mich letztendlich dazu bringen, dass alle A's = 0 sein müssten, was sich jedoch nicht deckt mit dem Term, welcher hinter dem ausgeklammerten x verbleibt.
29.04.2012, 19:10	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Latexumgebung, einfach auf f(x) klicken . (siehe auch: Wie kann man Formeln schreiben?) Wie kommst du auf eine 5te Ordnung? Zeig mal her .
29.04.2012, 19:19	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
Um auf einen gemeinsamen Nenner zu kommen, muss ich $\begin{eqnarray} A_{1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x+1)^{2}(x+1)^{3} \end{eqnarray}$ multiplizieren, dies ist auf meinem Zettel ausmultipliziert $\begin{eqnarray} x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1 \end{eqnarray}$
29.04.2012, 19:21	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Zwischenfrage. Was ist der Haupnenner?
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29.04.2012, 19:24	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (x+1)^{3} \end{eqnarray}$ Danke für die Zwischenfrage! Sehe ich es gerade richtig, dass ich somit $\begin{eqnarray} A_{1} \end{eqnarray}$ ja nur mit $\begin{eqnarray} (x+1)^{2} \end{eqnarray}$ multiplizieren muss?
29.04.2012, 19:25	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig .
29.04.2012, 19:40	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
Bretter vor Köpfen... danke! Somit erhalte ich $\begin{eqnarray} A_{1} = 0 A_{2}=1 A_{3} = -1 \end{eqnarray}$ Ob ich damit die Aufgabe richtig gelöst habe, da bin ich mir noch nicht sicher. Im Skript steht im Falle reeler Nullstellen weiterhin folgende Lösung für das Integral $\begin{eqnarray} \int \! \frac{p(x)}{q(x)} \, dx = A_{1}ln\|x-x_{1}\| +...+ A_{n}ln\|x-x_{n}\| \end{eqnarray}$ Verstehe ich recht, dass ich nun $\begin{eqnarray} x_{1} = -1 \end{eqnarray}$ setze, sowie für x die obere Grenze einsetze und den erhaltenen Term abzüglich den Term der unteren Grenze rechne, also Folgendes erhalte? $\begin{eqnarray} (ln\|1+1\|-ln\|1+1\|)-(ln\|1\|-ln\|1\|) = 0 \end{eqnarray}$
29.04.2012, 19:48	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben mit PBZ: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{x}{(x+1)^{3} } \, dx = \int_0^1 \!\frac{1}{(x+1)^{2}} - \frac{1}{(x+1)^{3}}\, dx \end{eqnarray}$ Das haben wir doch . Hier zu integrieren ist recht einfach. Was ist 1/a² oder 1/a³ integriert? Das ist ja prinzipiell was wir oben stehen haben. Die Sache mit dem Logarithmus kommt nur zum Zuge, wenn du den Bruch in der Form 1/a vorliegen hast.
29.04.2012, 20:03	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{(x-1)^{2} } \, dx = \frac{-1}{(x-1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{-1}{(x-1)^{3} } \, dx = \frac{1}{2(x-1)^{2}} \end{eqnarray}$ Setze ich die Grenzen ein, erhalte ich $\begin{eqnarray} -1 -\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \end{eqnarray}$
29.04.2012, 20:05	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
Verzeihe das Durcheinander...
29.04.2012, 20:07	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, du musst nochmals ran. $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{x}{(x+1)^{3} } \, dx = \int_0^1 \!\frac{1}{(x+1)^{2}} - \frac{1}{(x+1)^{3}}\, dx \end{eqnarray}$ Hatte von dir kopiert und das Vorzeichen nicht gewechselt gehabt. Dein Weg ist aber richtig . (Deine jeweiligen Integrationen sind richtig. Brauchen wir aber bei uns nicht)
29.04.2012, 20:18	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (-\frac{1}{2}+\frac{1}{8})-(-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} \end{eqnarray}$
29.04.2012, 20:22	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei den Integrationen hat sich im Nenner einfach nur das Vorzeichen in der Klammer geändert, das hatte aber nur auf den Wert des Integrals Auswirkungen. Wieso es die Brüche nicht korrekt anzeigt, weiß ich leider nicht, abermals entschuldigung...
29.04.2012, 20:28	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst \frac schreiben . Sonst aber richitg .
29.04.2012, 20:30	bobino	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir vielmals. Manchmal liegt die Lösung so nahe und ist doch so fern. Nun ist es für künftige Fälle hoffentlich alles klar.
29.04.2012, 20:32	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe Gerne

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