definition: direkte Summe |
| 07.07.2004, 15:05 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| definition: direkte Summe U geschnitten W = {0} a) Zeigen sie das direkte Summe ebenfalls ein Unterraum von W ist. Nunja, ich will eigentlich nur wissen, was die direkte Summe ist. Nehm ich mit den Vektorraum Dann bilden ja und Teilräume. wie bitte "addiere" ich diese? Oder soll ich das dann in etwa der Schreibweise der Komplexen Zahlen anpassen (also immer u+v schreiben??? |
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| 07.07.2004, 15:25 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die direkte Summe zweier Unterraeume U und V eines Vektorraumes W ist definiert als die Menge der Vektoren, die sich eindeutig darstellen lassen als Summe eines Vektors u aus U und v aus V. Die Eindeutigkeit der Darstellung ist aequivalent zur Bedingung, dass U mit V nur den Nullraum als Schnitt haben. Dass die direkte Summe zweier Unterraeume wieder ein Unterraum ist, ist leicht zu ueberpruefen. Du musst nur die Untervektorraumbedingungen pruefen: 1) Ist die 0 darstellbar als Summe eines Vektors u aus U und v aus V? 2) Ist die Summe zweier Vektoren aus dem direkten Produkt wieder darstellbar als Summe eines Vektors aus U mit einem Vektor aus V? 3) Ist das skalare Vielfache eines Vektors der direkten Summe darstellbar als Summe eines Vektors aus U mit einem Vektor aus V? Zu deinem Beispiel mit den Matrizenraeumen kann ich dir nur sagen, dass R^(2,3) kein Unterraum von R^(n,m) ist fuer n und m beliebig, denn die Elemente von R^(2,3) sind ja fast nie (nur fuer n = 2 und m = 3) in R^(n,m) enthalten. Also ist das kein Teilraum des R^(n,m). Analog fuer R^(n.n). 
EDIT: Rechtschreibfehler verbessert, sonst wird das hier ja peinlich. 
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| 07.07.2004, 15:38 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
:P Wenn der Schnitt nur den Nullraum übrig lässt , heißt das , das U,V den gleichen Nullvektor haben. Der Nullvektor muss darstellbar sein als Kann man daraus schliessen das die Vektoren strukturähnlich sind? Nachzuweisen das es n unterraum ist ,ist nicht das Problem, eher das Verständnis was diese direkte Summe ist.
Die Eindeutigkeit wäre der nächste Beweis den ich führen soll
edit
schätze das kann ich weil dann nämlich gilt |
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| 07.07.2004, 17:30 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na dann fuehren wir den Beweis, den du als naechste Aufgabe tun sollst. Das hilft dir sicherlich auch fuers Verstaendnis, was die direkte Summe ist. 1. Ist U geschnitten V der Nullraum, so ist jeder Vektor aus der direkten Summe von U und V eindeutig darstellbar als Summe eines Vektors aus U mit einem Vektor aus V: Sei a ein Element aus der direkten Summe von U und V. Es gibt also Vektoren u_1 aus U und v_1 aus V, so dass a = u_1 + v_1 ist. Sei a = ... + ... eine weitere solche Darstellung. Dann ist u_1 + v_1 = ... + ..., u_1 - ... = ... - v_1. Letzteres Element u_1 - ... = ... - v_1 liegt also in ... und in ..., also liegt es im ............... Es folgt ..... = ..... und ..... = ....... 2. Ist die Darstellung eines beliebigen Elementes der direkten Summe von U und V eindeutig, so ist U geschnitten V der Nullraum. Sei a ein Element aus dem Schnitt von U und V. Dann ist a + 0 = 0 + a = a ein Element aus ...................... Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung folgt .................. |
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| 07.07.2004, 18:10 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. Ist U geschnitten V der Nullraum, so ist jeder Vektor aus der direkten Summe von U und V eindeutig darstellbar als Summe eines Vektors aus U mit einem Vektor aus V: Sei a ein Element aus der direkten Summe von U und V. Es gibt also Vektoren u aus U und v aus V, so dass a = u + v ist. Sei a = u' + v' eine weitere solche Darstellung. Dann ist u + v = u' + v', u - u' = v' - v. Letzteres Element u - u' = v' - v liegt also in U und in V, also liegt es auch im Schnitt von U und V. Da der Schnitt als Nullraum festgehalten wurde folgt u - u' = 0, v-v'=0 => u=u', v=v' den 2. teil versteh ich nicht... |
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| 07.07.2004, 18:18 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast 2 Darstellungen von a: a = 0 + a, wobei 0 aus U und a aus V und a = a + 0, wobei a aus U und 0 aus V. Ich gebe zu, dieser Teil ist vielleicht der kuerzere Teil, aber sicherlich der "schwerere", weil er nicht nach dem beruehmten Schema F funktioniert. |
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| 08.07.2004, 11:35 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm naja o + a = a + 0 = a. Im speziellen sind a + 0 und 0 + a also auch im Summenraum zu finden. Da wir wissen das a + 0 = 0 + a und die Darstellung eindeutig ist kann der Schnitt doch nur den Nullvektor beinhalten, da dann 0 + 0 = 0 + 0 , wohingegen 1 + 0 != 0 + 1 ist? Die summen wären ja trotzdem gleich -.-??? |
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| 08.07.2004, 11:44 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiss jetzt nicht so recht, ob du mich richtig verstanden hast. Ich wuerde sagen, dass nein. Deshalb werde ich jetzt erklaeren, so gut ich kann.
Die Summen 0 + a und a + 0 ergeben beide a, das ist natuerlich richtig. Wichtig hier ist aber, dass a ein Element aus dem Schnitt von U mit V war und deshalb sowohl als Element von U als auch als Element von V betrachtet werden kann. Auch die 0 kann als Element von U und auch als Element von V betrachtet werden. Nun haben wir vorausgesetzt, dass wir eine eindeutige Darstellung der Elemente der direkten Summe haben. Das heisst, dass wir auch gar keine Option haben koennen, Elemente auf zwei Weisen darzustellen. Dies zeigt uns, dass der Fall, dass a auf die zwei Weisen a + 0 (a betrachtet als Vektor von U, 0 als Vektor von V) und 0 + a (0 betrachtet als Vektor von U, a als Vektor von V) dargestellt werden kann, gar nicht auftreten kann - solange a vom Nullvektor verschieden ist. |
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| 08.07.2004, 20:23 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, ich denke ich hab, is ja auch klar wir wissen ja die darstellung ist eindeutig. Für jeden Vektor w aus W existiert also eine eindeutige darstellung also genau ein Vektor a + b. Die Schnittmenge beider Vektoren kann dann nur noch der Nullvektor sein, da sonst die Darstellung für den Vektor nicht mehr eindeutig wäre. Und das sieht man halt genau an a + 0 = 0 + a = a. Weil a also in beiden Unterräumen als auch im Summenraum wäre, wobei es halt im summenraum durch a + 0, bzw 0 + a dargestellt werden "könnte". Da die Darstellung aber eindeutig ist darf a nur null sein. |
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| 08.07.2004, 21:27 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja! Jetzt hast es.
Gut gemacht!Die Schwierigkeit ist bei solchen Sachen immer, es mathematisch korrekt aufzuschreiben. |
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