Erwartungstreuer Schätzer für Erwartungswert |
30.04.2012, 11:41 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Erwartungstreuer Schätzer für Erwartungswert Hallo ! Angenommen in einem Sportladen gibt es 10 Verschiedene Bälle mit verschiedenen Durchmessern. Die Werte seien Normalverteilt. Nun möchte ich einen Erwartungstreuen Schätzwert für Varianz und Erwartungswert angeben. Meine Ideen: Ich stehe gerade auf dem Schlauch wie ich das hier angehe !?! Was ich weiss ist: Erwartungswert ist Die Varianz ist Eine normalverteilte Zufallsvariable hat Erwartungswert und Varianz Für einen Erwartungstreuen Schätzer muss gelten Wie ermittle ich denn nun den erwartungstreuen Schätzer ??? Danke für eure Hilfe ! |
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30.04.2012, 19:23 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Moin! Bin zwar kein Statistiker, aber das krieg ich noch hin, denk ich. Die Bälle kommen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit, wie du ja auch schreibst. Du hast also quasi 10 Zufallsvariablen für die 10 Bälle, uiv. Wie lautet die Formel für deinen Schätzer für den Erwartungswert? Klar? Genau hast du auch gemacht, du hast den Erwartungswert mit dem arithemtischen Mittel geschätzt. Berechne nun . |
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30.04.2012, 19:56 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Wie meinst du die Formel ? Was ist denn dein ? Ich würde das jetzt so machen: Also ist der Schätzer erwartungstreu, Also das arithmetische Mittel oder was ? |
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30.04.2012, 20:09 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
bezeichnet das arithemtische Mittel. Das ist eine übliche Bezeichnung dafür. Und genau, das arithemtische Mittel ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert . Diese Summe bezeichnet genau das, was du gemacht hast: Alle Durchmesser addieren und durch die Anzahl der Bälle teilen. |
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30.04.2012, 20:26 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ok. Also jetzt nochmal zusammenfassend: Ich habe also Zufallsvariablen X1,...,X10. Mit jeweiligen Erwartungswert , da Normalverteilt. Meine Annahme wäre jetzt das der Schätzer ist. Wie ich dann oben überprüft habe stimmt der Erwartungswert des Schätzers mit dem tatsächlichen Erwartungswert überein und ist daher ein erwartungstreuer Schätzer. Ist das so korrekt aufgeschrieben oder fehlt da noch was? (irgendwie sinnlose Aufgabe ) Wie sieht das jetzt bei der Varianz aus ? |
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30.04.2012, 21:51 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Was ist hier dann eigentlich mein Schätzwert ? |
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01.05.2012, 10:54 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
So nochmal : Für den Erwartungswert ist ein erwartungstreuer Schätzer Der Schätzwert ist also Richtig so ? Für die Varianz ist ein erwartungstreuer Schätzer und der Schätzwert ist Ist das so ok ? Kann da bitte nochmal jmd. darüber schauen ? |
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01.05.2012, 11:11 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hallo, MatheMatosi, für den Erwartungswert nimmt man als Schätzer i.d.R. das arithmetische Mittel , korrekt. Für die Varianz nimmt man, wenn der Erwartungswert bekannt ist, i.d.R. den folgenden Schätzer: Wenn der Erwartungswert nicht bekannt ist, verwendet man meist folgenden Schätzer: (Daß im Nenner steht, hat damit zu tun, daß der Schätzer nicht erwartungstreu ist, wenn im Nenner nur stünde.) Noch ein kleiner Tipp: Man kann obigen Schätzer der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert viel leichter so berechnen, wenn man bedenkt: |
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01.05.2012, 12:48 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ok Jetzt bin ich ein wenig verwirrt. Die Aufgabe lautet ja einen Schätzwert anzugeben. Was heisst denn in der Regel nimmt man den Schätzer... ??? Es gibt doch verschiedene Schätzer oder. Wenn ich mir jetzt meinen Schätzer für die Varianz ansehe gilt ja Also ist dieser doch auch erwartungstreu oder nicht ? Was ist dann mein Schätzwert ? Etwa Erwartungswert und Varianz sind ja wegen der normalverteiltheit bekannt. |
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01.05.2012, 19:45 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Der von Dir gewählte Schätzer ist erwartungstreu. Es kann aber sein, daß er im Vergleich zu dem von mir vorgeschlagenen Schätzer weniger andere gute Eigenschaften hat. Hast Du das mal ausgetestet? Ist er z.B. konsistent? In der Regel nimmt man den von mir vorgeschlagenen Schätzer, weil er viele gute Eigenschaften hat. |
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02.05.2012, 08:02 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nein habe ich nicht überprüft. Spielt für mich hier auch keine Rolle, aber danke für den Hinweis . Kannst du bitte auf meine Frage eingehen ! Ich verstehe immer noch nicht was denn nun der Schätzwert ist. Ist das einfach nur mein Schätzer mit den Daten ? Also 61,98. Ich stelle diese Frage jetzt schon zum dritten mal . Das macht das ganze zu einer ziemlich langen Sitzung, wenn du verstehst was ich meine. |
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02.05.2012, 08:49 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@MatheMathosi Wie kommst du denn auf die abstruse Idee, sei ein erwartungstreuer Schätzer für ? Das ist grottenfalsch! @Dennis 2010 Weshalb bestätigst du diesen Unfug. Du hast doch vorher eien korrekten erwartungstreuen Schätzer genannt! |
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02.05.2012, 09:08 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@Huggy naja sieh dir meine obige Rechnung an. Sieht meine Beiträge überhaupt jmd. Weil irgendwie geht keiner darauf ein Was ist denn daran falsch erklärs mir, oder soll ich jetzt einen erraten . |
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02.05.2012, 09:22 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Sei ein Schätzer für . Dieser ist erwartungstreu, wenn gilt: Du hast als Schätzer gewählt: Und du hast gezeigt: Das ist aber nicht das, was du zeigen musst. Du musst (*) zeigen. |
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02.05.2012, 10:59 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich hatte da wirklich Tomaten auf den Augen bzw. war wohl irgendwie nicht bei Sinnen, entschuldige. Natürlich ist der vorgeschlagene Schätzer nicht erwartungstreu, wie Huggy begründet hat. Sorry! Der Schätzwert ist halt der Wert den Du bekommst, wenn Du die Daten in den Schätzer eingibst. |
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02.05.2012, 11:20 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Der vorgeschlagene Schätzer ist nicht nur nicht erwartungstreu. Es ist überhaupt kein sinnvoller Schätzer für die Varianz. Der vorgeschlagene Schätzer könnte unter Umständen negativ werden, wenn einige negativ sind, während die Varianz immer nicht negativ ist. |
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02.05.2012, 18:10 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@Huggy Danke für die kurze und informative Auskunft @Dennis2010 Mein Schätzwert für den Erwartungswert stimmt also ? Muss ich bei dem Schätzer für die Varianz davon ausgehen, dass der Erwartungswert bekannt ist oder nicht ? Es liegt ja eine normalverteilung der Daten vor somit ist der Erwartungswert doch bekannt oder etwa nicht ? Mein Ansatz wäre hier weiter Wie sieht das dann für den Schätzwert aus gilt ? |
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02.05.2012, 19:37 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Du solltest mal von der Bezeichnung zwischen und deren Schätzern unterscheiden. Das sorgt auch in deinem Kopf für mehr Klarheit. Cel hatte den Schätzer für E(X) genannt. Ich hatten den Schätzer für V(X) genannt. Du kannst natürlich gerne andere Bezeichnungen wählen. Der Schätzer für E(X) war Und dafür hast du die Erwartungstreue doch schon gezeigt:
Deshalb verstehe ich deine erneute Frage nicht. In der Aufgabe ist kein Wert füt genannt und ist lediglich der Schätzer dafür. Also kennst du nicht und kannst es bei dem Schätzer für V(X) auch nicht als bekannt voraussetzen. |
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03.05.2012, 21:26 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ok also nehme ich als Schätzer
wobei das arithmetische mittel ist, also mein erwartungstreuer Schätzer oder nicht ? Mir stellt sich hier nur die Frage warum in der Aufgabenstellung von einer Normalverteiltheit der Daten gesprochen wird, wenn das für meine Schätzer keine Rolle spielt ? Mein Ansatz wäre nun
Also ist weiter Warum mir das hier die Sache erleichtert ist mir allerdings schleierhaft Wie komme ich denn so auf die Varianz ? |
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04.05.2012, 09:18 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ja.
Das habe ich mich auch gefragt. Zumal es mehr als ungewöhnlich wäre, wenn man aus einer Normalverteilung obige Stichprobe erhielte. Für die Schätzer von E(X) und V(X) spielt die Verteilung keine Rolle. In der Normalverteilung tauchen lediglich E(X) und V(X) auch als Parameter der Verteilung auf.
Richtig.
Das zu erläutern überlasse ich Dennis2010. Es spricht aber nichts dagegen, die Sache direkt anzugehen. Also Jetzt nimmt man sich am besten, damit die Ausdrücke nicht zu lange werden, die Erwartungswerte in der Summe einzeln vor und fügt erst zum Schluss wieder alles zusammen. Für die durch entstehenden Summen ist lediglich zu beachten: falls X und Y unabhängig sind. Und wenn X und Y zusätzlich gleich verteilt sind, hat man Das darf man nicht verwechseln mit Ich verwende für gern die Schreibweise , die ich in Büchern allerdings noch nicht gesehen habe. |
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06.05.2012, 16:15 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hier komme ich immer noch nicht ganz weiter: ich weiss ja, dass ist. Also ist Aber so komme ich doch nicht weiter. Ich sehe überhaupt nicht wie ich hier wieder auf meinen Schätzer kommen soll Kannst du mir noch einen Tipp geben ? Ich könnte aus machen aber das hilft mir auch nicht |
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06.05.2012, 20:33 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Du musst die Indizes sauber auseinanderhalten. Ich mache mal ein paar Schritte bei dem mittleren Term: Jetzt solltest du den Rest hinbekommen! |
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06.05.2012, 21:35 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich checks immer noch nicht. Jetzt hab ich dieses dämliche n^{2} im Nenner stehen. Wie soll ich denn das jetzt weiter vereinfachen ? Ich muss am Ende ja hinter der ersten Summe stehen haben, aber weiss nicht wie ich darauf komme. |
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07.05.2012, 09:11 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Du strapazierst meine Leidensfähigkeit wirklich gewaltig. Wir sind doch in Hochschulmathematik und nicht im Kindergarten. Alle haben die gleiche Verteilung wie und sind unabhängig voneinander. Du kannst also überall setzen: für Wenn über einen solchen Term summiert wird, musst du halt zählen, wie viele Summanden die Summe hat. Bei der Kurzschreibweise musst du beachten, dass sie im mittleren Term und im letzten Term eine unterschiedliche Bedeutung hat. Im mttleren Term wird nur über j summiert. i ist fest. Die Summation über i erfolgt erst in der äußeren Summe. Im letzen Term wird über i und j summiert. Ausführlich geschrieben ist das eine Doppelsumme. Da aber der Index i schon in der äußeren Summe steht, sollte man hier die Indizes der inneren Summen besser j und k nennen. Der Faktor 2 vor dem letzten Term ist falsch. Wie kommst auf den? Statt dauernd zu lamentieren, ich sehe nicht, wie ich auf das Endergebnis komme, solltest du dich besser mit den Termen beschäftigen. |
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14.05.2012, 09:07 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Also nochmal : |
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14.05.2012, 10:25 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Aber jetzt : Ich betrachte mal die Terme einzeln (ohne den Bruch vorne dran): 1.Term wegen u.i.v. gilt : 2. Term:
nun noch über i summieren: nun muss ich ja noch n-1 mal über j summieren, da der Summand, wo i=j ist ja schon vor der Summe ist.Und dann noch n-mal über i somit: 3.Term: Nun noch n-nal summieren ergibt Insgesamt also So ich denke das sollte nun stimmen. Endlich diese Aufgabe fertig. Also die war ja wohl technisch schon etwas aufwendig, wobei im nachhinein nicht so schwer, aber den Kommentar mit Kindergarten hättest du dir auch sparen können und etwas nachsichtiger sein. Naja vielen Dank für eure Hilfe, hat ja schließlich zum Ziel geführt. Bis zum nächsten mal muhaha |
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14.05.2012, 11:01 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ja, das stimmt jetzt. Natürlich hätte ich ich mir den Kommentar mit dem Kindergarten verkneifen können. Aber ich wollte nicht. Und offenbar hat er ja auch bewirkt, dass du dich endlich damit beschäftigt hast, die einzelnen Terme mal auszurechnen. Man erlebt das häufig hier im Forum. Man gibt den Leuten Ratschläge und Hilfestellungen. Anstatt diese zu befolgen und mal zu sehen, wohin das führt, wird sofort gejammert, ich sehe nicht, wie mich das zum Ziel führt. Ja mein Gott, am Anfang einer Rechnung kann man oft das Ende noch nicht sehen. Diese Verweigerungshaltung geht mir entsetzlich auf den Geist. Und das entlädt sich dann gelegentlich in unfreundlichen Kommentaren. Ich sehe auch nicht ein, weshalb ich in solchen Fällen meinen Frust für mich behalten sollte. Um es noch mal klar zu sagen: Ich sehe bei einigen Fragestellern hier im Board eine starke Konsumneigung. Sie möchten alles bis ins kleinste Detail vorgebetet bekommen und nicht wirklich eigene Arbeit in das Problem stecken. Diesen Eindruck hattest du bei mir auch erweckt, ob zu Recht oder Unrecht, sei dahingestellt. |
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14.05.2012, 19:27 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ich kann deine Einstellung verstehen, war auf jeden Fall nicht meine Absicht mir die Aufgabe hier vorrechnen zu lassen. Wie dem auch sei, Danke für deine Hilfe |
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