gefälschter Tetraeder

30.04.2012, 12:00

Kääsee

gefälschter Tetraeder

Hallo alle zusammen,
ich bin bei einer Aufgabe gerade etwas im Zwiespalt:

Zitat:

Ein Tetraeder hat auf den vier Seiten die Ziffern 1,1,2,3. Max vermutet, dass das Tetraeder mit einem gefälschten Tetraeder ausgetauscht wurde, weil bei den letzten 4 Würfen des Tetraeders dreimal eine Drei gekommen ist. Bei dem gefälschten Tetraeder ist die Wahrscheinlichkeit für eine Drei auf 3/4 erhöht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Max recht? Mit welcher Wahrscheinlichkeit irrt sich Max?

Meine erste Überlegung dazu war, dass die Wahrscheinlichkeit beim "normalen" Tetraeder eine Drei zu werfen ja 1/4 beträgt, die Wahrscheinlichkeit, keine Drei zu werfen 3/4. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, in 4 Würfen drei mal eine Drei zu werfen, wäre 1/4*1/4*1/4*3/4=3/256
Da dachte ich mir, dass das jetzt ja schon die Wahrscheinlichkeit sein könnte, mit der sich Max irrt, da mit dieser Wahrscheinlichkeit ja so oft eine Drei kommt, auch wenn der Tetraeder nicht ausgetauscht wurde...? Die Irrtumswahrscheinlichkeit wäre also rund 1,17%.

Andererseits habe ich mir überlegt, dass die Wahrscheinlichkeit bei dem gefälschten Tetraeder, in 4 Würfen drei mal eine Drei zu werfen ja 3/4*3/4*3/4*1/4=27/256 wäre, also 9mal so hoch wie mit dem "normalen" Tetraeder.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der er sich irrt, könnte also auch 1/10 und die Wahrscheinlichkeit, mit der er recht hat 9/10 sein... verwirrt

Wäre ganz lieb, wenn mir jemand helfen könnte!
LG Cherimoya

01.05.2012, 11:22

Dopap

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Deine Wkt's sind zu klein. Beide müssen wegen $\begin{eqnarray*} \binom 4 3 = 4 \end{eqnarray*}$

mit 4 multipliziert werden.

a.) $\begin{eqnarray*} p(X_a=3)=\frac {12}{256}=4.7% \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} p(X_b=3)=\frac {108}{256}=42.2% \end{eqnarray*}$

bei a.) ist das Ergebnis etwas selten aber noch nicht extrem.
Wenn du z.B. 5% Irrtumswkt ansetzt, dann ist der Tetraeder falsch. Es kömmt aber auf die Konsequenzen an. Ist die Folge die, dass der Besitzer wegen Falschspiels hinter Gittern landet, dann ist 5% zu gross.
Hier wäre 1% oder besser 0.1% anzusetzen.

b.) für den B-Tetraeder ein vollkommen normales Ergebnis.

01.05.2012, 11:49

Kääsee

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Vielen, vielen Dank.
Das mit 4 multiplizieren hatte ich in der Eile irgendwie vergessen. Mir ging's ja eigentlich um das Problem, ob jetzt die Irrtumswahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit ist, mit der das Ereignis auch bei dem normalen Tetraeder eintritt (also 4,7%) oder ob es 10% Irrtum und 90% recht haben ist, weil die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis beim gefälschten Tetraeder ja 9mal so groß ist!?

01.05.2012, 12:16

Dopap

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Das mit den 4.7% ist nicht ganz richtig: Man muss nach der Wkt fragen 3 oder 4 Treffer zu landen.

$\begin{eqnarray*} p(X_a >2)= \sum_{k=3}^4 \binom 4 k \left ( \frac 1 4 \right )^k \left(\frac 3 4\right)^{4-k}=5.1% \end{eqnarray*}$

Das ändert aber nur was, wenn 5% die Schwelle gewesen sein sollte.

Meiner Meinung nach ist die Annahme der Hypothese des falschen Tetraeders mit 5.1%
Irrtumswkt behaftet. Der 2. Tetraeder hat wohl nur Alibifunktion.
Aber es gibt bestimmt noch andere Meinungen hierzu...

01.05.2012, 12:25

Kääsee

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Ok, dankeschön.

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