unvollständige Betafunktion

30.04.2012, 13:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
unvollständige Betafunktion Meine Frage: Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}=I_{p}(r,n-r+1) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} I_{s}(a,b)=\frac{\int_{0}^{s}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt}{B(a,b)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B(a,b)=\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i,r,n\in\mathbb N,p,s\in (0,1),a,b>0 \end{eqnarray}$ Hinweis: Leite beide Seiten nach p ab und überprüfe die Gleichheit der Ableitungen und die Gleichheit der Funktionen in einem Punkt. Meine Ideen: Also zu zeigen habe ich: $\begin{eqnarray} \sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}=\frac{\int_{0}^{p}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, dt}{\int_{0}^{1}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, dt} \end{eqnarray}$ Dem Hinweis folgend habe ich dann beide Seiten nach p abgeleitet und erhalte für die linke Seite: $\begin{eqnarray} \sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}ip^{i-1}(1-p)^{n-i}-\binom{n}{i}p^{i}(n-i)(1-p)^{n-i-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}\left(ip^{i-1}(1-p)^{n-i}-p^{i}(n-i)(1-p)^{n-i-1}\right) \end{eqnarray}$ Und für die rechte Seite: $\begin{eqnarray} \frac{(-(p-1))^{n-r}p^{r}B(r,n-r+1)}{p(B(r,n-r+1))^2}=\frac{(-(p-1))^{n-r}p^{r-1}}{\int_{0}^{1}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, dt} \end{eqnarray}$ Jetzt möchte ich gerne dem Hinweis weiter folgen. Aber wie überprüfe ich jetzt die Gleichheit der Ableitungen und die Gleichheit der Funktionen (welche sind gemeint?) in einem Punkt? Vielleicht kann mir ja jemand mal eben auf die Sprünge helfen?
30.04.2012, 16:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss/ Kann ich die Identität der Ableitungen vllt. per vollständiger Induktion zeigen?
30.04.2012, 22:57	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, ich habe schon einen anderen Weg gefunden. Ich bilde die Ableitung nach p der linken Gleichungsseite. Dann lande ich nach einigen Umformungen bei $\begin{eqnarray} n\binom{n-1}{r-1}p^{r-1}(1-p)^{n-r} \end{eqnarray}$ . Dann schau ich mir $\begin{eqnarray} LHS:=G(p)=\int_{0}^{p}G'(u)\, du=\int_{0}^{p}n\binom{n-1}{r-1}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, dt \end{eqnarray}$ . Da für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \Gamma(n)=(n-1)! \end{eqnarray}$ folgt dann $\begin{eqnarray} n\binom{n-1}{r-1}=\frac{1}{B(r,n-r+1)} \end{eqnarray}$ und damit gilt die behauptete Identität. Dies müsste auch ein Lösungsweg sein. Oder vielleicht ist der Hinweis auch so gemeint und ich habe es nur nicht verstanden.

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