Taylorreihe ableiten f(x) = sin x / x

30.04.2012, 14:02

Steb

Taylorreihe ableiten f(x) = sin x / x

Meine Frage:
Hallo,

in meinem Übungsblatt ist die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sin(x) a}{x} \end{eqnarray*}$
gegeben.
Die Taylorreihe für sin(x) konnte ich nachschlagen, um die Taylorreihe der Funktion zu finden habe ich dann einfach die Taylorreihe für sin(x) eingesetzt, und durch x dividiert.

Nun ist eine weitere Teilaufgabe die 4. Ableitung von f(0) zu bilden, als Hinweis wird die Beziehung zwischen Taylor-Reihe und n-ter Ableitung angesagt.

Leider komme ich einfach nicht drauf wo mein Denkfehler ist.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1} \end{eqnarray*}$

gilt für die Taylorreihe von sin(x).

Die Ableitung einer Taylorreihe $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$

sei

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum\limits_{k=1}^\infty k* a_k (x-x_0)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von sin(x) -> cos(x) -> -sin(x) usw. (Aber das bringt mich erstmal nicht weiter gedanklich.

Also dachte ich, muss man das doch irgendwie überführen können. Setze also k=1 und versuche das irgendwie zu verbinden.

$\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist doch mein $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ wird ja durch x_0 = 0 zu x^k.

Aber irgendwie krieg ich das noch nicht verbunden in meinem Schimpansenkasten oder hänge total an der falschen Ecke? Jetzt weiß ich auf jeden Fall nicht mehr weiter..

30.04.2012, 14:13

Valdas Ivanauskas

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RE: Taylorreihe ableiten f(x) = sin x / x
Die Taylorreihe der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (mit Entwicklungspunkt a) hat folgende Gestalt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n. \end{eqnarray*}$

Aus der bekannten Taylorreihe des Sinus (Entwicklungspunkt 0) erhältst Du sofort

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

und kannst durch den Vergleich der korrespondierenden Summanden den gesuchten Wert einfach ablesen.

30.04.2012, 14:17

Steb

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Den Schritt verstehe ich nicht.

Die Allgemeine Form der Taylorreihe kenne ich, aber dein letztes Statement :/ ?

30.04.2012, 14:47

Steb

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ALso die Summenformel habe ich nachvollziehen können. (Taylorreihe für sin(x), dann einführen in f(x) = sin(x) / x und daraus eine Summenformel bilden.)

Nachträglich ist mir das klar.

Aber wie kann ich das nun ableiten?

--
bin ich vielleicht nur verwirrt? f^4(0) könnte ich doch auch berechnen, indem ich f(x) = sin x / x einfach bis zur 4. Ableitung ableite und 0 einsetze.

Das wird zwar hässlich, aber über Quotientenregel & Co. doch ein stures Regelanwenden?

30.04.2012, 16:23

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Steb
Die Allgemeine Form der Taylorreihe kenne ich, aber dein letztes Statement :/ ?

In der allgemeinen Form der Taylorreihe tauchen doch die n-ten Ableitungen an der Stelle a (dem Entwicklungspunkt) auf.

Den wievielten Summanden Deiner Reihenentwicklung für

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\sin(x)}x \end{eqnarray*}$

könntest Du nun in Erwägung ziehen, um daraus den Wert von

$\begin{eqnarray*} f^4(0) \end{eqnarray*}$

zu ermitteln?

30.04.2012, 16:54

Steb

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Zitat:

Den wievielten Summanden Deiner Reihenentwicklung könntest Du nun in Erwägung ziehen, um daraus den Wert ..

Das 4. Taylorpolynom im Entwicklungspunkt 0 wäre dann die Ableitung $\begin{eqnarray*} f^4(0) \end{eqnarray*}$ ?

Zumindest hätte ich damit doch eine starke Approximation für den Funktionswert von $\begin{eqnarray*} f^4(0) \end{eqnarray*}$ .

Aber das wäre ja der Funktionswert und nicht die Ableitung?

30.04.2012, 20:29

Dopap

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das 4. Glied der Taylorentwicklung einer Funktion hat nur indirekt mit der 4. Ableitung der Funktion zu tun. Ausserdem erscheint im 4. Glied die dritte Ableitung.
-----------------------------------------------------------------------------
Du suchst die 4.te Ableitung der Funktion in Taylordarstellung!

Dazu darfst und sollst du die Taylorentwicklung der Funktion 4 mal ableiten.

30.04.2012, 21:57

Valdas Ivanauskas

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Hmh, also mir hätte da eher vorgeschwebt aus

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \end{eqnarray*}$

per Koeffizientenvergleich direkt zu folgern, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^2}{5!}=\frac{f^{(4)}(0)}{4!} \end{eqnarray*}$

womit dann alles klar ist.

01.05.2012, 14:28

Steb

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Ich habe mich nochmal versucht und wieder die Verbindung n-te Ableitung und Taylorreihe irgendwie zu verknüpfen..

Skydrive 4te Ableitung durch Taylorreihe (PNG)

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