Flächeninhalt soll minimal werden |
30.04.2012, 15:41 | realto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Flächeninhalt soll minimal werden Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Im Koordinatensystem liegt ein Punkt Q auf der x-Achse und ein Punkt R auf der y-Achse. Der Punkt P(4|2) ist Element der Geraden QR. Nun soll man die Koordinaten von Q und R so bestimmen, dass der Flächeninhalt des Deiecks OQR minimal ist. Meine Ideen: Ich habe eine Lösung über die Ableitung gefunden (Gerade durch P aufgestellt => y = mx + 2-4m , die Nullstelle dieser Gerade ist der Punkt Q => a = -2 + 4m/m, dann habe ich den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet => b = 2-4m. Damit hab ich den Flächeninhalt mit der Formel A = 0.5 OR * OQ in Abhängigkeit von m berechnet. Dieses Ergebnis hab ich nach m abgeleitet und gleich 0 gesetzt.) Jetzt ist meine Frage, ob ich das auch berechnen kann ohne Ableitung. Also nur mit den Mitteln, die ein Schüler 10. Klasse Realschule hat, also Vektoren oder so. Komm da einfach nicht wirklich voran. Wär schön, wenn mit wer einen Tipp geben könnte |
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30.04.2012, 16:48 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Flächeninhalt soll minimal werden . Nun soll man die Koordinaten von Q und R so bestimmen, dass der Flächeninhalt des Deiecks OQR minimal ist. hm? ganz ohne Ableitungen: der Flächeninhalt A ist wohl dann minimal, , wenn Q=R= O(0/0) gilt , dh, wenn m=1/2 ist... (dann ist ja A=0) |
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30.04.2012, 17:15 | realto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich aber alle Punkte (0|0) setze habe ich doch zum einen kein Dreieck mehr zum anderen soll ja auf der Geraden QR der Punkt P liegen... |
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30.04.2012, 23:24 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nun, eine kleinere Flächenmasszahl als A=0 gibts ja nicht ..und die Punkte Q und R liegen nicht nur auf der jeweils gewünschten Achse sondern auch auf der durch P, Q und R gehenden Geraden y=x/2 Die Bedingungen der Fragestellung sind erfüllt.. aber klar - gesucht ist wohl zu A(m)= -2*(4m^2-4m+1)/m nicht der Punkt mit m=1/2 .. also nicht ( 1/2 ; 0 ) sondern der andere Scheitelpunkt der Hyperbel, also (-1/2 ; +16) .. da der Mittelpunkt M der Hyperbel y= -2*(4x^2-4x+1)/x auf der y-Achse liegt (M= Schnittpunkt der Asymptotn x=0 mit y=8-8x) sind die x-Werte der beiden Extrema am Ursprung gespiegelt also zum schon gefundenen relativen Maximum ! ! bei x=1/2 kann deshalb sofort mit x= -1/2 der x-Wert des relativen Minimums der Hyperbel angegeben werden.. kurz: gesucht und gefunden ist die Gerade mit m= -1/2 ... -> y=-x/2 +4 und die Minimalfläche A=16 Klar auch, dass du das deinem erwähnten Schüler wohl nicht verkaufen kannst - oder? und so bleibt halt vermutlich allemal nur die Differentialrechnung.. hm? |
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