Unitäre Matrizen

30.04.2012, 16:30

snaggy

Unitäre Matrizen

Meine Frage:
Zeige, dass für unitäre Matrizen gilt :

det(A*) = (det A)*

Der Stern steht in diesem Fall für die Konjugation.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} det A* = \sum\limits_{} sgn(o) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,o(i)} \end{eqnarray*}$

Von den komplexen Zahlen weiß ich dass man erst konjugieren kann und dann eine Summe bilden. Oder erst die Summe bilden und dann konjugieren. Selbes gilt für Produkte. Nur wie kann ich das anhand der Leibniz-Formel zeigen? ich brauche dringend Hilfe dabei.

30.04.2012, 16:45

DP1996

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RE: Unitäre Matrizen

Zitat:

Original von snaggy
Von den komplexen Zahlen weiß ich dass man erst konjugieren kann und dann eine Summe bilden. Oder erst die Summe bilden und dann konjugieren. Selbes gilt für Produkte.

Wenn ich mich nicht täusche, hast du damit bereits alles, was du brauchst.

30.04.2012, 17:02

snaggy

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Ok, d.h es genügt wenn ich zeige, dass zum beispiel $\begin{eqnarray*} (z_{1} + z_{2})^* = (a_{1} + ib_{i} + a_{2} + ib_{2})^* = z_{1}^* + z_{2}^* \end{eqnarray*}$

Weil das könnte ich leicht selbst ... bzw. dasselbe nochmal für Produkte zeigen ?

30.04.2012, 17:09

DP1996

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Du kannst das schon zeigen, wobei meines Erachtens das so selbstverständlich ist, dass man das nicht erst zeigen muss. Du hast ja oben schon geschrieben, dass du die Eigenschaft bereits kennst, und wenn unitäre Matrizen behandelt werden, sollte man das als bekannt voraussetzen dürfen. Vielleicht sollte man noch anmerken, dass sich diese Regeln induktiv auf beliebig viele Summanden bzw. Faktoren ausdehnen lassen.

Was du halt noch machen musst, ist, dies auf die Leibniz-Formel anzuwenden, aber das ist in einer Zeile erledigt.

30.04.2012, 17:16

snaggy

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hmm also ich hab eben mal schnell gezeigt, dass das für die komplexen Zahlen eben so gilt, hab ich ohne Probleme hinbekommen. Wie soll ich das denn jetzt noch auf die Leibniz Formel anwenden ? Versteh nicht ganz wie die Zeile dann aussehen soll?

30.04.2012, 17:24

DP1996

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Wie gesagt, du kannst das ganze leicht auf beliebig viele Summanden bzw. Faktoren ausdehnen, und dann sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \overline{k} =\overline{\sum\limits_{k=1}^n k} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^n \overline{k} =\overline{\prod\limits_{k=1}^n k} \end{eqnarray*}$

und jetzt konjugierst du erstmal die Matrixeinträge, dann sollte die Sache eigentlich klar sein, ich bin jetzt schon hart an der Grenze zur Komplettlösung.

30.04.2012, 17:45

snaggy

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$\begin{eqnarray*} det A^* = \sum\limits_{} sgn(o) \prod\limits_{i=1}^n a^*_{i,o(i)} = \sum\limits_{} sgn(o) \prod\limits_{i=1}^* a_{i,o(i)} = (detA)^* \end{eqnarray*}$

... so oder wie meinst du das ?

30.04.2012, 18:05

DP1996

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Sry, war kurz weg.

Ja, das ist das, was ich meinte. (Man hätte vllt noch einen Zwischenschritt einfügen können, wo man die Summe konjugiert) Freude

Übrigens: Ein mögliches LaTeX-Kommando für diesen Strich ist \overline{ }.

30.04.2012, 18:07

snaggy

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Alles klar vielen Danke für deine Ausführungen ! Denke ich habe es gut verstanden und werde es in Zukunft sofort anwenden können. Das mit dem Strich merke ich mir auch Big Laugh

hat mich schon die ganze Zeit geärgert
Einen schönen Abend wünsche ich noch und tanz in den Mai ! ^^

30.04.2012, 18:10

DP1996

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Gern geschehen!

Schönen Abend noch! smile

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