Norm, Matrix

30.04.2012, 17:39

1nstinct

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Norm, Matrix

Hallo zusammen smile

smile

,

Ich hätte eine kurze Frage.

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^3 -> \mathbb R ^2, f(x)=Ax \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Nun soll ein L gefunden werden, so dass $\begin{eqnarray*} ||f(x)||_1\leq L||x||_1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} ||f(x)||_1=||Ax||_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiss ich nicht, wie ich weitermachen soll.
Gilt $\begin{eqnarray*} ||Ax||_1=||A||_1*||x||_1 \end{eqnarray*}$ ? Ich wüsste, wie ich die Norm der Matrix bestimme.

Vielen Dank im Vorraus smile

smile

30.04.2012, 17:53

Cel

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RE: Norm, Matrix
Hallo! Wink

Wink

Zitat:

Original von 1nstinct
Gilt $\begin{eqnarray*} ||Ax||_1=||A||_1*||x||_1 \end{eqnarray*}$ ?

Im Allgemeinen nicht - aber etwas ähnliches. Habt ihr über die Verträglichkeit von Normen gesprochen? Wenn nicht, dann muss du wohl konkret die Norm von f(x) ausrechnen.

Edit: Ich seh gerade, dass das auf das gleiche führt. Ist nicht schwieirg. smile

smile

30.04.2012, 17:58

1nstinct

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RE: Norm, Matrix
Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich hab die Definition der Verträglichkeit gefunden, allerdings bei google, nicht im Skript unglücklich

unglücklich

.
Also muss ich für x eine 3x3 Matrix einsetzten, mit A multiplizieren, die Norm ausrechnen und dann ein L bestimmen?

Gruß

Edit: Wenn ich das richtig verstanden habe, gilt für jede Norm:

$\begin{eqnarray*} ||Ax||\leq ||A||*||x|| \end{eqnarray*}$ , dann müsste ich ja nur ||A|| ausrechnen und wäre fertig.

30.04.2012, 18:09

Cel

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RE: Norm, Matrix

Zitat:

Original von 1nstinct
Edit: Wenn ich das richtig verstanden habe, gilt für jede Norm:

$\begin{eqnarray*} ||Ax||\leq ||A||*||x|| \end{eqnarray*}$

Nein, das gilt nicht für jede Norm. Nur für sogenannte verträgliche. Die 1er-Norm ist zwar vertäglich, aber wenn die Verträglichkeit nicht im Skript ist (vielleicht arbeitet diese Aufgabe auch dahin), dann können wir sie nicht benutzen. Ist aber nicht schlimm.

Rechne einfach mal die Norm von A*x aus, A ist gegeben, x allgemeiner Vektor des IR³. Und dann versuche, das nach oben abzuschätzen.

30.04.2012, 18:50

1nstinct

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RE: Norm, Matrix
Danke für deine Hilfe smile

smile

Jetzt hab ich nur noch Probleme mit der Abschätzung.

Ich könnte natürlich die Summe einfach durch die Addition der ||x|| abschätzen, aber geht das nicht noch ein bisschen schöner?

30.04.2012, 19:09

Cel

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Zeig doch mal, wie du dir das vorstellst, könnte nämlich hinkommen. Man möchte ja schließlich am Ende rechts ||x|| stehen haben. Vielleicht ist das bei dir sprachlich nur etwas holprig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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30.04.2012, 19:15

1nstinct

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für $\begin{eqnarray*} x=(a,b,c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||f(x)||=||Ax||=||(a+2b+3c,4a+5b+6c)||=|a+2b+3c|+|4a+5b+6c|\leq (|a+2b+3c|+|4a+5b+6c|)*||x||=L*||x|| \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} ||x||\geq 0 \end{eqnarray*}$

Edit: Mir fällt gerade auf, dass ||x|| auch kleiner als 1 sein kann.

30.04.2012, 19:32

1nstinct

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Muss ich eine Fallunterscheidung machen?

Für ||x|| größer/gleich 1 und ||x|| kleiner 1?

30.04.2012, 19:39

Cel

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Das, was du da machst, ist Quatsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

a, b, c sind doch gerade die Komponenten von x. Und das machst du dann zu dem L. Geht nicht.

Zitat:

Original von 1nstinct
$\begin{eqnarray*} ||f(x)||=||Ax||=||(a+2b+3c,4a+5b+6c)||=|a+2b+3c|+|4a+5b+6c| \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist es gut. Schätze die Beträge ab - *murmel* Dreieck *murmel*. Du möchtest nachher dort $\begin{eqnarray*} \leq L \cdot (|a|+ |b| + |c|) \end{eqnarray*}$ stehen haben. Mit einer konkreten Zahl L. Dafür brauchst du keine Fallunterscheidung.

30.04.2012, 19:47

1nstinct

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Ok, Ich hoffe das stimmt smile

smile

$\begin{eqnarray*} |a+2b+3c|+|4a+5b+6c|\leq |a|+|2b|+|3c|+|4a|+|5b|+|6c|=5|a|+7|b|+9|c|\leq 9|a|+9|b|+9|c|=9(|a|+|b|+|c|) \end{eqnarray*}$

30.04.2012, 19:51

Cel

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Exzellent! L=9. Freude

Freude

30.04.2012, 19:53

1nstinct

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Zitat:

Exzellent!

Naja, geht so^^. Ich muss das ganze jetzt noch mit der unendlich-Norm machen. Ich würde mein Ergebniss dann posten, vill könntest du nachher nochmal drüberlesen smile

smile

Vielen Dank für deine Hilfe smile

smile

30.04.2012, 20:06

Cel

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Kannst' machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2012, 20:15

1nstinct

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Also, jetzt soll ein L gefunden werden, so dass $\begin{eqnarray*} ||f(x)||_\infty =L*||x||_\infty \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} ||f(x)||_\infty=||Ax||_\infty=||(a+2b+3c,4a+5b+6c)||_\infty=max(a+<br /> 2b+3c,4a+5b+6c) \end{eqnarray*}$

1. Fall: $\begin{eqnarray*} a+2b+3c\geq 4a+5b+6c \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} a+2b+3c\leq max(a,b,c)+2*max(a,b,c)+3*max(a,b,c)=6*max(a,b,c)=6*||x||_\infty \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} a+2b+3c\leq 4a+5b+6c \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} 4a+5b+6c\leq 4*max(a,b,c)+5*max(a,b,c)+6*max(a,b,c)=15*max(a,b,c)=15*||x||_\infty \end{eqnarray*}$

Also müsste L=15 sein.

30.04.2012, 20:51

Cel

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Ja, das sieht gut aus. Übrigens sollte ganz am Anfang ein <= stehen, kein =.

Insgesamt also: Freude

Freude

30.04.2012, 20:55

1nstinct

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Danke, war ein Tippfehler.

Ich danke dir für deine Mühe und riesen Hilfe.
Schönen Abend noch smile

smile

30.04.2012, 20:58

Cel

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Bitte!

smile

Dir auch noch einen schönen Abend!

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