Simulation mit Würfelwurf

30.04.2012, 17:51	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Simulation mit Würfelwurf Hallo Ich habe folgenden Übungsaufgabe, bei der ich nicht genau weiß, wie ich vorgehen soll 1) Kann man mit einem fairen Würfelwurf zwei faire Münzwürfe simulieren? 2) Kann man mit zwei fairen Würfelwürfen einen Wurf mit einem Viererwürfel (Tetraeder) simulieren? Da die Aufgabe mit "Simulation von Verteilungen durch Zufallsvariablen" überschrieben ist, nehme ich an, dass ich Zufallsvariablen und Verteilungen angeben muss Mein Gefühl sagt mir, dass 1) nicht möglich ist, 2) aber schon bei 2) hätte ich nun eine Abbildung angegeben, die ein Tupel aus zwei Zahlen von 1 bis 6 auf die Zahlen 1,2,3, oder 4 abbildet und zwar so, dass immer 9 Tupel auf die gleiche Zahl gehen, damit dann gilt: $\begin{eqnarray} P(\left\{ j\right\} )=\frac{1}{4} \forall j\in \left\{ 1,...,6\right\} \end{eqnarray}$ Ist diese Abbildung, die meine Zufallsvariable sein soll beliebig wählbar, solange eben immer neun Tupel auf eine Zahl abgebildet werden? bei 1) denke ich, dass das nicht geht, weil man die sechs Würfelergebnisse $\begin{eqnarray} \left\{ 1,...,6\right\} \end{eqnarray}$ nicht so auf die 4 Ergebnisse des zweifachen Münzwurf $\begin{eqnarray} \left\{KK,KZ,ZK,KK\right\} \end{eqnarray}$ mit K=Kopf und Z=Zahl aufteilen kann, dass $\begin{eqnarray} P(\left\{ ZZ\right\}= P(\left\{ KK\right\}=P(\left\{ ZK\right\}=P(\left\{ KZ\right\}=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ gilt. Stimmt diese Vermutung? Es wäre super, wenn mir jemand sagen könnte, ob mein Ansatz so richtig ist Ganz liebe Grüße Biene
30.04.2012, 18:07	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simulation mit Würfelwurf Zu 1) Ich denke, daß Deine Überlegung an sich korrekt ist, aber vielleicht könnte man es noch formal ausdrücken: Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega_1,\mathcal{F}_1,P) \end{eqnarray}$ des fairen Würfelwurfs: Wie sieht der aus? Und dann schaut man sich den Ereignisraum $\begin{eqnarray} (\Omega_2,\mathcal{F}_2) \end{eqnarray}$ des zweimaligen Münzwurfs an. Die Frage ist ja jetzt nach dem Bildmaß von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ unter einer Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bzw. nach der Verteilung einer passenden Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X\colon \Omega_1\to\Omega_2 \end{eqnarray}$ .
30.04.2012, 18:23	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simulation mit Würfelwurf Nur ein kurzer Einwurf: Was wäre denn beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass beide Würfelzahlen ungerade sind? Edit: Sorry, war zu Punkt 2) gedacht... Bin aber schon weg...
30.04.2012, 19:47	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
eine nichtsaubere Idee: Wenn ich gezwungen wäre, die Doppelmünze mit einem Würfel zu simulieren, würde ich nur die Werte 1-4 des Würfels zulassen. Falls 5 oder 6 wird wiederholt... Das hat aber mit dem hohen Anspruch der Aufgabe nichts zu tun.
01.05.2012, 09:47	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten zu1): Der W-Raum sieht so aus: $\begin{eqnarray} \Omega_{1}=\left\{ 1,...,6\right\} \mathcal{F}_1=Pot(\Omega_{1}), P:Gleichverteilung \end{eqnarray}$ und der messbare Raum so: $\begin{eqnarray} \Omega_{2}=\left\{ K,Z\right\}^{2} \mathcal{F}_1=Pot(\Omega_{2}) \end{eqnarray}$ Dann bräuchte ich jetzt ne passende Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X:\Omega_{2}\rightarrow\Omega_{2} \end{eqnarray}$ damit mir dann die Verteilung $\begin{eqnarray} p_{X}:\mathcal{F}_2\rightarrow\left[0,1\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\rightarrow P(X^{-1}(A) ) \end{eqnarray}$ die "richtigen" Wahrscheinlichkeiten auf $\begin{eqnarray} \Omega_{2} \end{eqnarray}$ liefert, d.h. $\begin{eqnarray} p_{X}(K,K)=p_{X}(Z,Z)=p_{X}(K,Z)=p_{X}(Z,K)=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Nun kenne ich ja nun die Zufallsvariable noch nicht, bzw. finde ich keine Zufallsvariable, die die gewünschte Verteilung liefert. Wie kann ich jetzt formal korrekt begründen, dass es keine derartige Zufallsvariable gibt? zu2) Nochmal die gleiche Frage: Darf ich meine Zufallsvariable X beliebig wählen, z.B. so: $\begin{eqnarray} X:\left\{ 1,...,6\right\}²\rightarrow\left\{ 1,...,4\right\} <br /> (1,1)\rightarrow1<br /> (1,2)\rightarrow1<br /> (1,3)\rightarrow1<br /> (1,4)\rightarrow1<br /> (1,5)\rightarrow1<br /> (1,6)\rightarrow1 <br /> (2,1)\rightarrow1<br /> (3,1)\rightarrow1 <br /> (4,1)\rightarrow1 <br /> (5,1)\rightarrow2 <br /> (6,1)\rightarrow2 <br /> (2,2)\rightarrow2 <br /> (2,3)\rightarrow2 <br /> (2,4)\rightarrow2 <br /> (2,5)\rightarrow2 usw. \end{eqnarray}$ Viele Grüße Biene
01.05.2012, 10:47	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine, man darf den Ergebnissen jede Zahl zuordnen $\begin{eqnarray} \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ Ein Würfel produziert im Prinzip auch keine Zahlen sondern nur Symbole die aus Punkten bestehen. die übliche Zuordnung ist reine Konvention.
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