Eigenwerte, Spektralnorm und Kondition

24.01.2007, 15:15	BoardsucheNixGebracht	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte, Spektralnorm und Kondition Hi! Ich habe hier folgende aufgabe 1 : http://www.numerik.uni-kiel.de/~hh/teach...erik/blatt3.pdf Und die Lösung dazu: http://home.arcor.de/digital-video/lambda.JPG Ich verstehe nich wie die Rot markierte Stelle zustande kommt ... Wieso wird lambda_max * S² ---> (lambda_n)² und unter der anderen Wurzel entsprechend .....
24.01.2007, 16:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Völliges Missverständnis beim Lesen: Nicht $\begin{eqnarray} \lambda_{\max} \end{eqnarray}$ mal $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ (also Multiplikation) ist gemeint, sondern $\begin{eqnarray} \lambda_{\max} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ (also Funktion mit Argument $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ ) !!!
24.01.2007, 16:22	BoardsucheNixGebracht	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, ok trotzdem verstehe ich es nicht
25.01.2007, 13:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, also ist schon ein wenig anstrengend, deinen Zettel zu lesen. $\begin{eqnarray} \text{Verwendete Norm: Spektralnorm } \|\|A\|\|_2:=\sqrt{\rho(A^\cdot A)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rho(A)=max\{\|\lambda \|: \lambda \text{ ist Eigenwert von A}\} \end{eqnarray}$ Nun wollen wir mit dieser Norm, die Kondition einer regulären reellen Matrix S berechnen. $\begin{eqnarray} cond_2(S) \stackrel{\mathrm{def}}= \|\|S\|\|_2\cdot \|\|S^{-1}\|\|_2 \stackrel{\mathrm{def}}= \sqrt{\rho(S^T\cdot S)}\cdot \sqrt{\rho((S^{-1})^T\cdot S^{-1})} = ... \end{eqnarray}$ Frage: Ist S symmtrisch? Ja! Siehe Zettel* $\begin{eqnarray} ... = \sqrt{\rho(S\cdot S)}\cdot \sqrt{\rho((S^{-1})\cdot S^{-1})} = \sqrt{\rho(S^2)}\cdot \sqrt{\rho((S^{-1})^2)} \end{eqnarray}$ Jetz bleibt es zu überlegen, wie die Eigenwerte von S und S² zusammenhängen. $\begin{eqnarray} Sv = \lambda v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S^2v = S(Sv) = S(\lambda v) =\lambda Sv = \lambda^2 v \end{eqnarray}$ Und die von S und der inversen Matrix $\begin{eqnarray} Sv = \lambda v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S^{-1}Sv =S^{-1} \lambda v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = \lambda S^{-1} v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda}v = S^{-1} v \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »