Berechnung Grenzwert

30.04.2012, 22:07

King_Jigga

Berechnung Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n e^{-k} \end{eqnarray*}$

dann hab ich die geometrische reihe genommen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n q^{k} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

durch einsetzen von q erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n e^{k} = \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

also ist der grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-e}= 1-\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

bei einer anderen Aufgabe habe ich für:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sin(2x) }{5x} \end{eqnarray*}$
das ergebnis 0

kann bitte jm die beiden aufgaben überprüfen und mir sagen ob mann das bei aufgabe 1 so schreiben kann bzw. darf??
danke schonmal

30.04.2012, 22:16

HeineBorell

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Zitat:

bei einer anderen Aufgabe habe ich für: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sin(2x) }{5x} \end{eqnarray*}$ das ergebnis 0

Ehm meinst du etwa:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(2x) }{5x} \end{eqnarray*}$ ?

Sonst stimmt es nicht, und wenn ja warum sollte das 0 sein.
Also es ist 0, aber das muss du schon irgendwie begründen.
Tip: Ein Satz aus deiner Vorlesung sollte dir dort helfen.

30.04.2012, 22:19

King_Jigga

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Zitat:

Original von HeineBorell
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n e^{-k} \end{eqnarray*}$

dann hab ich die geometrische reihe genommen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n q^{k} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

durch einsetzen von q erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n e^{-k} = \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

So ist es richtig. Da muss schon e^{-k} stehen.
Ist aber eigentlich auch eine sehr triviale Aufgabe Augenzwinkern

Zitat:

bei einer anderen Aufgabe habe ich für: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sin(2x) }{5x} \end{eqnarray*}$ das ergebnis 0

30.04.2012, 22:21

King_Jigga

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Ehm meinst du etwa:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(2x) }{5x} \end{eqnarray*}$ ?

ja sry war ein tippfehler, wie meinst du begründen ich seh ja dass im Zähler sin(2x) gegen 0 geht und im nenner 5x auch gegen 0 geht.

kannst mir ja einen Vorschlag machen wie ich es aufschreiben könnte??!

und was meinst du hiermit [ Da muss schon e^{-k} stehen.]

30.04.2012, 22:27

HeineBorell

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Zitat:

Ehm meinst du etwa: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(2x) }{5x} \end{eqnarray*}$ ? ja sry war ein tippfehler, wie meinst du begründen ich seh ja dass im Zähler sin(2x) gegen 0 geht und im nenner 5x auch gegen 0 geht. kannst mir ja einen Vorschlag machen wie ich es aufschreiben könnte??!

Also ich muss dazu sagen, dass wir den Sinus so noch garnicht in der Vorlesung hatte. Deswegen sollte mich jemand korrigieren wenn ich falsch liege.

Aber ich meine (das zeigt auch wikipedia), dass die Sinusfunktion periodisch schwankt.
Sie erreicht immer einen Maximalen wert. Fällt dir da nicht etwas ein ?

Warum konvergiert denn ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

30.04.2012, 22:29

IfindU

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RE: Berechnung Grenzwert
Sowohl
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n e^{k} = \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$
als auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n e^{-k} = \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$
ist falsch. Man muss die Formel richtig anwenden.

30.04.2012, 22:29

HeineBorell

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Ich wollte eigentlich, die Reihe Weglassen. So ist es noch viel offensichtlicher.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

30.04.2012, 22:36

HeineBorell

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Zitat:

Sowohl $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n e^{k} = \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$
als auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n e^{-k} = \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$
ist falsch. Man muss die Formel richtig anwenden.

Was meinst du genau ? Die Formel wurde richtig angewendet.
Sobald er die N-te Partialsumme betrachtet kann er einfach die Geometrische Reihe, für q<1 dort hinschreiben.

Was also meinst du genau ? verwirrt

30.04.2012, 22:38

HeineBorell

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Ah ich habe schon meinen Fehler gesehen.
Hab ich so garnicht bemerkt, aber da kommt er auch noch drauf Augenzwinkern

30.04.2012, 23:04

Hellsing91

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Ich glaube jetz habt ihr ihn verwirrt. geschockt

Okay du willst folgenden Grenzwert berechnen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n e^{-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n \left(\frac{1}{e}\right)^{k} \end{eqnarray*}$

Nun hast du doch schon korrekt hingeschrieben, dass du die Geometrische Reihe verwenden kannst

Geometrische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n q^{k} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

für |q|<1

Was ist nun dein q ?

Setze dieses einfach in die Geomterische Reihe ein, also in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Fall du immer noch nicht weiter weisst, schau dir mal folgendes an:

onlinetutorium.com

30.04.2012, 23:42

SusiQuad

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@Heine et.al.
Nur mal so ... Was er meinte ...

Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} e^k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} q=e > 1 \end{eqnarray*}$ ... keine Konvergenz !

Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} e^{-k} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} q=\frac{1}{e} < 1 \end{eqnarray*}$ also die Formel

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ anwendbar,

nur sollte man das Bruchrechnen beherrschen ...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1-\dfrac{1}{e}} = \frac{e}{e-1} \end{eqnarray*}$

01.05.2012, 00:02

SusiQuad

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Reihenkonvergenz ist btw was anderes als Folgenkonvergenz.

Ausserdem :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

sollte wohl heissen ...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ ist aber für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert.

Neben diesen Belanglosigkeiten sollte man feststellen,
(1) dass die Reihe alterniert und
(2) $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ mon. fallende Nullfolge ist,
was ein wohlbekanntes Konv.Krit. ist.

01.05.2012, 00:27

SusiQuad

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Zitat:

und im nenner 5x auch gegen 0 geht

Nein. Für den Bruch gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5x} \xrightarrow{~x \to \pm \infty~} 0 \end{eqnarray*}$

Zum Thema $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(2x) }{5x} \end{eqnarray*}$ wird der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ vermutet ...

Dann: $\begin{eqnarray*} \left| 0 - \frac{\quad\sin(2x)\quad }{5x} \right|~=~\frac{\quad|\sin(2x)|\quad }{|5x|} \leq \cdots \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Für hinreichend grosse $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . - Auf gehts !

Tipp: Was ist der grösste Wert von $\begin{eqnarray*} \sin(\cdot) \end{eqnarray*}$ ?
Tipp zum Tipp: Katheten sind höchstens so gross wie Hypothenusen ...

01.05.2012, 01:13

HeineBorell

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Zitat:

@Heine et.al. Nur mal so ... Was er meinte ... Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} e^k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} q=e > 1 \end{eqnarray*}$ ... keine Konvergenz ! Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} e^{-k} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} q=\frac{1}{e} < 1 \end{eqnarray*}$ also die Formel $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ anwendbar, nur sollte man das Bruchrechnen beherrschen ... $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1-\dfrac{1}{e}} = \frac{e}{e-1} \end{eqnarray*}$

Ja ich hatte gedacht ich hätte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-e^{-1}} \end{eqnarray*}$ geschrieben.
Und deswegen war ich mir keinen fehler bewusst. Jedoch bemerkte ich es nach erneutem zitieren, siehe auch:

Zitat:

Ah ich habe schon meinen Fehler gesehen. Hab ich so garnicht bemerkt, aber da kommt er auch noch drauf Augenzwinkern

Ich wollte dies erstmal dem Autor des themas überlassen, diese kleinigkeit zu korrigieren. Denn dies ist ja eigentlich offensichtlich.

Zitat:

Nein ich hatte mich korrigiert, ich wollte schreiben (verdammtes LaTex Big Laugh

)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Und diese Konvergiert nach einem Satz aus der Vorlesung (zumindest bei uns).
Denn der Satz lautet:

Eine beschränkte Folge mal eine Nullfolge, konvergiert gegen 0.

Undzwar wollte ich auf diese Aufgabe hinaus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(2x) }{5x} \end{eqnarray*}$ ?

Leider haben wir den Sinus, und Cosinus noch nicht in der Vorlesung behandelt. Ich kann mich aber noch an meiner Schulzeit erinnern, und dort habe ich gelernt dass der Sinus (sowie auch Cosinus) beschränkt sind. Nämlich durch 1, und -1.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\sin(2x) }{5x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } sin(2x) \cdot \frac{1}{5x} \end{eqnarray*}$

Würde dann nach dem Satz konvergieren.

Zitat:

Dann: $\begin{eqnarray*} \left| 0 - \frac{\quad\sin(2x)\quad }{5x} \right|~=~\frac{\quad|\sin(2x)|\quad }{|5x|} \leq \cdots \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ Für hinreichend grosse $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . - Auf gehts !

So geht es natürlich auch, kann man sich aber ersparen falls der Sinus beschränkt ist.
Und man den Satz in der Vorlesung behandelt hat, wovon ich mal ausgehe. smile

01.05.2012, 03:38

SusiQuad

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Zitat:

Und diese Konvergiert nach einem Satz aus der Vorlesung (zumindest bei uns).
Denn der Satz lautet:
Eine beschränkte Folge mal eine Nullfolge, konvergiert gegen 0.

Stimmt. Die Folge konvergiert gegen 0.

Eine entsprechende Reihe aber nicht, zB. $\begin{eqnarray*} \sum 1 \cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Für die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ hatte ich die hinreichenden Kriterien für Konvergenz genannt.

Es gibt jedoch eine Verschärfung dieses von Leibniz bekannten Kriteriums und zwar von Dirichlet. Beschränkte Folge reicht aber nicht. Dirichlet verlangt die Beschränktheit der Partialsummen $\begin{eqnarray*} \sum b_k \end{eqnarray*}$ und eine mon. fall. NF $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ für die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum a_k~b_k \end{eqnarray*}$ .

Für die Beschränktheit des $\begin{eqnarray*} \sin = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} \end{eqnarray*}$ hatte ich oben einen tipp zum Tipp ...

02.05.2012, 14:47

King_Jigga

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Zitat:

Original von SusiQuad
@Heine et.al.
Nur mal so ... Was er meinte ...

Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} e^k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} q=e > 1 \end{eqnarray*}$ ... keine Konvergenz !

Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} e^{-k} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} q=\frac{1}{e} < 1 \end{eqnarray*}$ also die Formel

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ anwendbar,

nur sollte man das Bruchrechnen beherrschen ...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1-\dfrac{1}{e}} = \frac{e}{e-1} \end{eqnarray*}$

ich wollte mich mal bedanke, habs einfach falsch gemacht.
danke für die gute und erleuchtende erklärung.

zu anderen muss ich einfach sagen; wieso immer leute andere verbessern wollen;
wenn sie selber von tuten und blasen keine ahnung haben.
Das verwirrt total, als erster war das ergebnis richtg und dann doch falsch.
es sollten bitte nur leute korrigieren oder "sagen das Ergebnis ist falsch" wenn dies auch korrekt ist und sie sich selber auch 100% sicher sind.

Trotzdem danke dir mir geholfen haben

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