Zahlenwerte von Summen bzw. Produkten

01.05.2012, 09:31

Gast11022013

Zahlenwerte von Summen bzw. Produkten

Meine Frage:
Hi,

ich soll die Zahlenwerte von den folgenden Summen bzw. Produkten berechnen und bräuchte bei einigen ein wenig Hilfe.

$\begin{eqnarray*} a) \sum\limits_{k=1}^4 \frac{1}{k} b) \sum\limits_{k=1}^{999} \frac{1}{k(k+1)} c)\sum\limits_{k=3}^{10} k^3 d)\sum\limits_{k=1}^4 3^{4-k}2^k e)\prod \limits_{k=1}^{100} \frac{k+1}{k} f)\prod \limits_{k=1}^{5} \left(\frac{k+1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) Hier habe ich einfach zu Fuß die Zahlen addiert.

Es kommt $\begin{eqnarray*} 2\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ herraus, aber ich weiß nicht wie ich es leichter haben kann.

b) Naja zu Fuß addieren geht hier schlecht und leider habe ich keine Idee wie ich das hier vereinfachen kann.

c) Diese Summation kann ich über eine der Gaußschen Summenformeln lösen.
Ich rechne:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{10} k^3 - \sum\limits_{k=1}^{2} k^3 \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{10^2(10+1)^2}{4}-\frac{2^2(2+1)^2}{4}=3016 \end{eqnarray*}$

d) Hier könnte ich ebenfalls noch zu Fuß zum Ziel kommen. Das ist mir aber ein wenig zu doof. Kann man das irgendwie elegant vereinfachen?
Ich erhalte als Ergebnis 130

e) Hier habe ich mir überlegt, dass wenn ich es aufschreibe ich ne Menge kürzen kann.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}.....\cdot \frac{101}{100} \end{eqnarray*}$

Es sollten sich ausnahmslos alle Faktoren wegkürzen bis auf der Zähler des letztens. Das Ergebnis müsste 101 sein?

f) Hier habe ich zu erst etwas vereinfacht.
Das Buch hatte im Vorfeld $\begin{eqnarray*} \prod \limits_{k=1}^{n-1} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ definiert.

Ich kann also einfach $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{k} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ kürzen und die Definition anwenden. Ich muss nur die 5 zur 6 machen, weil es in der Definition ja bis $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ geht. Deshalb müsste ich im Exponenten noch 1 addieren?

$\begin{eqnarray*} \frac{5^6}{5!}=64\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus.

Mfg

01.05.2012, 10:12

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RE: Zahlenwerte von Summen bzw. Produkten

Zitat:

Original von Gmasterflash
ich soll

$\begin{eqnarray*} b) \sum\limits_{k=1}^{999} \frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

b) Naja zu Fuß addieren geht hier schlecht
und leider habe ich keine Idee wie ich das hier vereinfachen kann.

Tipp:
beweise zuerst dies (zB mit vollständiger Induktion) :

$\begin{eqnarray*} b) s_{n} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}= \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

und dazu:
$\begin{eqnarray*} d)\sum\limits_{k=1}^4 3^{4-k}2^k = 3^4\cdot \sum\limits_{k=1}^4 \left(\frac{2}{3} \right)^k \end{eqnarray*}$

..hast du jetzt vielleicht eine Idee? Wink

01.05.2012, 10:44

Gast11022013

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Erstmal zu b)

Ich versuche nun deinen Tipp mittels Vollständiger Induktion zu beweisen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} (n=1) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \checkmark \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} (n \rightarrow n+1) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+1+1)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} =\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} =\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich den dadrauf überhaupt auf diese "Eigenschaft" zu prüfen?
Ist das so überhaupt korrekt?

01.05.2012, 10:57

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Erstmal zu b)

Wie komme ich den dadrauf überhaupt auf diese "Eigenschaft" zu prüfen?
Ist das so überhaupt korrekt?

ja hallo..

wenn du 999 Summanden addieren sollst - was liegt näher, als zu schauen, ob es
eine Gesetzmässigkeit geben könnte?
also: notiere einfach mal die ersten drei, vier Summenwerte s1= 1/2; s2=2/3 , s3=3/4

möglicherweise kommt bei dir dann auch ein Verdacht auf, wie das weitergeht ..
Vermutung: sn= ?

und ob das korrekt ist? - also bitte, wenn du nachgewiesen hast (eben zB mit V.I.)
dass eine Summenformel für alle natürlichen Zahlen n gültig ist..
da hast du noch Zweifel, ob es für n=999 korrekt ist? Gott

01.05.2012, 11:02

Gast11022013

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Meine Zweifel rühren eher daher, dass ich das gerade zum ersten mal so gemacht habe und mir vorher nur 2mal ein 2 minütiges Video dazu angeschaut habe. Augenzwinkern

Dann kann ich also davon ausgehen, dass es korrekt ist.

Demnach wäre der Wert der Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{999}{1000} \end{eqnarray*}$

Zu d) habe ich leider noch nicht den Hauch einer Idee. unglücklich

01.05.2012, 11:27

original

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Zitat:

Original von Gmasterflash

Zu d) habe ich leider noch nicht den Hauch einer Idee.

vielleicht haucht dir das Stichwort "geometrische Reihe" weiter?
schau also da mal nach..

01.05.2012, 11:38

Mulder

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Kurzer Zwischeneinwurf:

@Gmasterflash: Bei der b) kannst du alternativ auch einfach eine Partialbruchzerlegung durchführen. Dann siehst du (mit passender Indexverschiebung), dass sich alle Summanden bis auf zwei wegkürzen (Stichwort Teleskopsumme).

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{999} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{999} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{999} \frac{1}{k+1} = 1 + \sum_{k=2}^{999} \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{999} \frac{1}{k} - \frac{1}{1000}= 1- \frac{1}{1000} \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich das gleiche Ergebnis, aber eben nicht durch Vermutung aufgestellt und mit Induktion bestätigt, sondern eben direkt hergeleitet. Ich denke mal, dass die Aufgabe auch eher darauf abzielen sollte, denn solche Teleskopsummen erkennen zu können ist wichtig.

01.05.2012, 11:51

Gast11022013

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Zitat:

Stichwort "geometrische Reihe"

Jap. Natürlich. Da hätte ich auch selber drauf kommen können.

Gauß erkennen, aber bei der geometrischen Reihe versagen. unglücklich

@Mulder: Danke für deinen Einwurf. Ich muss mir das alles nochmal genauer angucken. Wahrscheinlich war auch die Lösung über die Teleskoppsumme gemeint, aber das mit der Vollständigen Induktion ist auch ziemlich interessant wie ich finde.

Gibt es bestimmte Kriterien um die Teleskopsumme anwenden zu können? Oder brauch man da einfach den Blicke für wie bei binomischen Formeln?

Sind die anderen Aufgaben soweit richtig gelöst?

Gibt es zu a) noch eine geschickte Vereinfachung?

Jetzt hätte ich fast vergessen noch die Lösung zu d) zu schreiben.

geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} = \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} 3^4\cdot \frac{(2/3)^4-1}{1-(2/3)}=195 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Es müsste aber 130 rauskommen.

01.05.2012, 22:54

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Zitat:

Original von Gmasterflash

geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} = \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ unglücklich

Also:

$\begin{eqnarray*} 3^4\cdot \frac{(2/3)^4-1}{1-(2/3)}=195 \end{eqnarray*}$

Es müsste aber 130 rauskommen.

du hast ja auch gleich 2 Fehler eingebaut:

1) die richtige Summenformel für eine geometrische Reihe ist: $\begin{eqnarray*} s_{n} = a_{1}\cdot \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

2) mit deiner Rechnung, linke Seite, bekommst du einen negativen Wert traurig

machs also nochmal,
du wirst dann irgendwann schon auch 130 rausbekommen..

01.05.2012, 22:59

Gast11022013

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Ok jetzt erhalte ich 130 als Ergebnis. smile

Hatte vergessen mit 2/3 zu mulitplizieren was ja aus meiner falschen Formel ersichtlich war.

Ist der Rest richtig?

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