Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen

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Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Meine Frage:
Aufgabe: Sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f ( = griechisch phi ) ? Endk(V) ( = Endomorphismus von V über K ). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) für jedes n ? N gilt Kern(f^n) Teilmenge von Kern(f^n+1) UND Bild(f^n+1) Teilmenge von Bild(f^n)
b) gilt Kern(f^k) = Kern(f^k+1) für ein k ? N, so gilt Kern(f^k)= Kern(f^k+n) für alle n ? N
c) gilt Bild(f^k) = Bild(f^k+1) für ein k ? N, so gilt Bild(f^k)= Bild(f^k+n) für alle n ? N

Meine Ideen:
Hey an alle die das lesen: ich bitte euch helft mir mit Ansätzen und Lösungsvorschlägen, weil ich echt absolut keine Ahnung habe wie ich da überhaupt ansetzen soll, ob über Dimension oder was heißt eigentlich Kern(f^k) ich weiß es wirklich nicht und schaffe es auch nicht mir das persönlich anzueignen. Bitte helft mir. Gruß
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Du kannst die Abbildung doch verketten. Zum Beispiel ist



Du musst die Aussagen eben allgemein für die n-fache Verkettung von zeigen. Diese Verkettung ist ja selbst auch wieder eine Abbildung.

Mal zur a) mit dem Kern. Zu zeigen ist:



Da ist (fast) nichts zu zeigen, das ist völlig klar. Schreib mal sauber hin, was es heißt, wenn ein beliebiges in liegt. Die Aussage folgt dann sofort.

Und ich würde dir den Formeleditor nahelegen...
 
 
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Sry ich steh grade irgendwie auf dem Schlauch.... das mit der Verkettung oben ist mir jetzt klar nur weiß ich unten nicht weiter, könntest du das näher erläutern? ( Ich bin nit grad gut in LA, sry )
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Ich kann mich nur wiederholen:

Zitat:
Original von Mulder
Schreib mal sauber hin, was es heißt, wenn ein beliebiges in liegt.

Was ist denn der Kern? Was bedeutet das? Ich frage hier jetzt einfach nur eine Definition ab, mehr nicht.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
der Kern sind all diejenigen Elemente die auf die O bzw. das Nullelement abgebildet werden aber ich weiß grad nicht wie ich das genau hinschreiben soll, was du aufgeschrieben hast....
Zitat: Schreib mal sauber hin, was es heißt, wenn ein beliebiges in liegt

da komm ich momentan nicht weiter, sry. ich glaub es hängt an ner einfachen Sache
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Zitat:
Original von Hilfloser4
der Kern sind all diejenigen Elemente die auf die O bzw. das Nullelement abgebildet werden

Ja. Also für ein gilt: . Dann weißt du doch auch sofort, was ergibt.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
ah jetzt hab ichs verstanden. Danke dir ich werd das dann erstmal machen, hast du vlt auch noch ideen zu b) und c) und zu dem mit Bild bei der a)? Aber danke dir schonmal! Das hat sehr geholfen
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Zitat:
Original von Hilfloser4
hast du vlt auch noch ideen zu b) und c) und zu dem mit Bild bei der a)?

Ich wohl, ja. Aber für Vorschläge bist eigentlich du zuständig.

Ich wiederhole wieder das, was ich zu der Sache mit dem Kern gesagt habe: Erstmal sauber hinschreiben, was man gegeben hat und was das heißt. Dann ist schon 80% erledigt. Also mach mal, was bedeutet es, wenn so ein in der Menge liegt?
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
ich bin jetzt grade soweit:

also = () nur seh ich grad nicht wie ich das mit dem bild in verbindung bringe:

( nochmal zum kern: = () => Kern () stimmt das dann so )
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
öhm sry das vorletzte beim kern in der klammer muss "Kern" heißen
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Heieiei...

Wenn ein in liegt, heißt das:



Beim Kern hast du jetzt nur nochmal geschrieben, was ich schon geschrieben hatte. Das reicht aber noch nicht, da fehlt immer noch ein letzter kleiner Schritt. Was ergibt denn nun, wenn ist? Du hast doch gesagt, du hättest es verstanden?

Das hier

Zitat:
Original von Hilfloser4
( nochmal zum kern: = () => Kern () stimmt das dann so )

ist jedenfalls kein Beweis, das ist gar nichts.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
so? ich glaub ich hab nur das falsche geschrieben gehabt hab das jetz so aufm blatt stehen:

für ein v Kern( gilt: = 0
=> = () = = 0
=> v Kern(
=> Kern( Kern(
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
stimmt das so? hab da paar klammern vergessen sry.. aber die kann man sich denken... zum Bild mach ich mir grad gedanken das kommt gleich
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
So stimmt es natürlich (du hattest vorher ja auch die Hälfte weggelassen).

Übrigens kannst du deine Beiträge auch editieren und bevor du sie verfasst, kannst du auch über "Vorschau" deine Beiträge erst einmal ansehen und korrigieren, wenn etwas nicht stimmt. Mach das bitte zukünftig.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Ok mach ich sry. ich bin mit dem System noch nicht ganz vertraut bin erst seit heute drin. smile
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Zitat:
Original von Mulder
Heieiei...

Wenn ein in liegt, heißt das:



Das versteh ich das ist auch logisch, nur wie betrachte ich jetzt in
da hängts noch, denke den rest bekomm ich dann hin, wenn ich weiß wie ich davon auf das andere schließen kann..
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Um zu zeigen, dass auch in liegt, musst du nur geschickt umformen. Eigentlich so ähnlich wie zuvor bei der Aufgabe mit dem Kern.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
ok also ich weiß nicht ob das stimmt aber ich hab mal umgeformt:

= () = = v
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Nein, stimmt nicht. Warum sollte denn auch sein? unglücklich



Jetzt?
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
bedeutet


dann

?

weil doch oder nicht?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Zitat:
Original von Hilfloser4
bedeutet

dann

?

Nein.

Zitat:
Original von Hilfloser4
weil doch oder nicht?

Nein, auch nicht. Wie kommst du dazu?
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
gute frage ich dachte die Abbildung von wäre v, aber da hatt ich dann einen Denkfehler aber momentan sitz ich grad fest ich weiß nicht wie ich das noch anders schreiben sollte, das zum Schluss v rauskommt... ich muss doch das n+1 auflösen oder nicht? nur dann hab ich einen ausdruck mit und einen mit da stehen, aber dann muss ja einer der beiden irgendetwas ausdrücken und da hängts
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
Ich hab den Eindruck, dass du überhaupt nicht vor Augen hast, was du eigentlich machen musst, bzw. was du haben willst. Das kann dann ja auch nichts werden. Wir sind nämlich schon lange fertig. Du willst zeigen, dass, wenn in liegt, auch schon in liegt.

Wir hatten gesetzt, also ist ein Urbild von unter der Abbildung und liegt in .

Jetzt müssen wir zeigen, dass auch unter der Abbildung ein Urbild in hat, dann liegt nämlich auch in .

Und genau so ein Urbild haben wir schon lange, denn es ist



Also ist ein passendes Urbild, denn dieses Element liegt ja auch in , weil ein Endomorphismus ist.
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
mist den endomorphismus hab ich vergessen gehabt..... danke dir jetzt hab ichs auch gepeilt

ich hau mich mal mit dem pfosten, mit dem du gewunken hast :P
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild - Beweise bei Endomorphismen
achso arbumentiere ich eigentlich bei der b) genauso wie bei a) mit dem kern ? ( bzw. bei c) mit dem bild )
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