Jordansche Normalform einer Matrix bestimmen

01.05.2012, 14:50

Dani_ela

Jordansche Normalform einer Matrix bestimmen

Hallo,
bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:

Bestimme die Jordansche Normalform von $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix}3&-1&0&0\\1&1&0&0\\3&0&5&-3\\4&-1&3&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Als erstes berechne ich das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} \chi_{A}(t)=(t-2)^{4} \end{eqnarray*}$ .
Daraus lese ich die Nullstelle ab: $\begin{eqnarray*} \lambda=2 \end{eqnarray*}$ .

Durch die Formel $\begin{eqnarray*} n-Rang(\varphi-\lambda\cdot id) \end{eqnarray*}$ kann ich die Anzahl der Jordanblöcke in A mit dem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} n-Rang(\varphi-\lambda\cdot id)=4-Rang(A-2\cdot E_4)=4-2=2 \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich theoretisch zwei Möglichkeiten für die JNF:
1. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder 2. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Woher weiß ich, welche die richtige ist?

Anmerkung: Mein Prof hat in der Vorlesung so weiter gemacht: Bilde Matrix $\begin{eqnarray*} (A-2\cdot E_4) \end{eqnarray*}$ , quadriere sie, Ergibnis war die Nullmatrix $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 2. ist richtig...Was hat der gemacht??

LG
Daniela

01.05.2012, 15:12

Louis1991

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RE: Jordansche Normalform einer Matrix bestimmen
Hey Daniela,

Zitat:

Original von Dani_ela
Anmerkung: Mein Prof hat in der Vorlesung so weiter gemacht: Bilde Matrix $\begin{eqnarray*} (A-2\cdot E_4) \end{eqnarray*}$ , quadriere sie, Ergibnis war die Nullmatrix $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 2. ist richtig...Was hat der gemacht??

LG
Daniela

Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} (A-2\cdot E_4) \end{eqnarray*}$ nicht vollen Rang hat, also nilpotent ist. Also gibt es eine Potenz, sodass $\begin{eqnarray*} (A-2\cdot E_4)^k = 0 \end{eqnarray*}$ . Der Prof hat jetzt das k=2 bestimmt.

Da $\begin{eqnarray*} (A-2\cdot E_4) \end{eqnarray*}$ ähnlich zu $\begin{eqnarray*} (J-2\cdot E_4) \end{eqnarray*}$ , muss dann auch $\begin{eqnarray*} (J-2\cdot E_4)^2=0 \end{eqnarray*}$ gelten, das ist bei 1. aber offenbar nicht der Fall, bei 2. schon.

Es gibt natürlich auch allgemeine Formeln, um zur Anzahl der Jordankästchen auch noch die Größen zu bestimmen. Das habt ihr aber sicher in der Vorlesung gemacht, oder werdet es noch machen.

lg
kai

01.05.2012, 16:59

Dani_ela

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Ok, dankeschön smile

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