Beweis: Zwischen zwei reellen Zahlen gibt es immer eine rationale Zahl

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01.05.2012, 15:08	SilverShadow	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Zwischen zwei reellen Zahlen gibt es immer eine rationale Zahl Hi! Hocke (mal wieder ) ziemlich planlos vor einer Übungsaufgabe. http://s7.directupload.net/images/120501/7dxe2gwj.jpg Anders gesagt heißt das doch, dass zwischen zwei reellen Zahlen immer mindestens auch eine rationale liegen soll. Bzw. nennt man das (im allgemeinen, also in einem beliebigen Körper) nicht auch "Vollständigkeit"? Der Hinweis sagt mir ja folgendes: Zeige a) $\begin{eqnarray} M_u und M_o \end{eqnarray}$ ist jeweils nicht die leere Menge. $\begin{eqnarray} M_o \end{eqnarray}$ wäre ja nur die leere Menge, wenn $\begin{eqnarray} M_u = R \end{eqnarray}$ gilt. b) $\begin{eqnarray} M_u \cup M_o = R \end{eqnarray}$ c) für alle Paare $\begin{eqnarray} (x,y) \in M_u \times M_o gilt: x\leq y \end{eqnarray}$ Kann mir jemand bei den Beweisen helfen, wie fange ich da an? & Der letzte Teil mit s < y sagt mir doch, dass ich zeigen soll, dass $\begin{eqnarray} x \in M_o \end{eqnarray}$ gilt, nicht wahr? Vielen Dank mal wieder
01.05.2012, 20:13	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Zwischen zwei reellen Zahlen gibt es immer eine rationale Zahl hallo silvershadow, also es gibt ja mehrere möglichkeiten zu beweisen, dass zwischen 2 reelllen zahlen (mindestens) eine rationale zahl liegen muss, und den ansatz über den dedekindschen schnitt finde ich eigentlich fast schon zu kompliziert. Jedenfalls wird man hier begründen müssen, dass wenn man das lambda beliebig klein wählt, dass die grenze (also die schnittzahl) für den dedekindschen schnitt nur noch y selbst sein kann. gruss ollie3
01.05.2012, 20:26	SilverShadow	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagen wirs mal so, es wäre wahrscheinlich sinnvoll die Methode mit dem Dedekindschen Schnitt zu wählen, wenn sies schon so angeben. Dass dann quasi am Ende rauskommt s=y? Vorher müsste ich natürlich erstmal das Dedekindsche Schnittpaar bewiesen bekommen ;P
01.05.2012, 20:39	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo silvershaddow, also dass es sich hier um einen dedekindschen schnitt handelt, das lässt sich ja leicht zeigen, indem man die erforderlichen eigenschaften verifiziert, wichtig ist das lambda hier rational ist. gruss ollie3
01.05.2012, 21:34	SilverShadow	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja genau mein Problem, ich weis nicht wie ich die Eigenschaften konkret beweisen kann!
03.05.2012, 13:51	SilverShadow	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand? :/ Was mich etwas irritiert, ist, dass die zu zeigende Aussage Teil der Definition von $\begin{eqnarray} M_u \end{eqnarray}$ ist. Wie soll ich denn beweisen, dass $\begin{eqnarray} M_u \end{eqnarray}$ nicht die leere Menge ist, wenn ich die zu beweisende Aussage logischerweise noch noch nicht als richtig annehmen kann? Falls die Definition von $\begin{eqnarray} M_u \end{eqnarray}$ stimmt, kann $\begin{eqnarray} M_u \end{eqnarray}$ nicht ganz R sein, und dann kann $\begin{eqnarray} M_o \end{eqnarray}$ auch logischerweise nicht die leere Menge sein. $\begin{eqnarray} M_u \cup M_o = R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_u \cup M_o <=> M_u \vee R ohne M_u \end{eqnarray}$
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03.05.2012, 14:03	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo silvershadow, (sorry dass ich mich erst jetzt wieder melde), ich glaube, dass du das mit dem dedekindschen schnitt nicht richtig verstanden hast.(die definition dafür kannst du bei wikipedia nachlesen). M_u ist ja das, was sich unterhalb der ´schnittzahl befindet, M_o ist der rest, und M_u vereinigt mit M_o ergibt die reellen zahlen, und wenn man sich mit dem lambda beliebig nah an y nähert, kann die schnittzahl ja letztlich nur y sein. (so sehe ich das jedenfalls) gruss ollie3
03.05.2012, 16:08	SilverShadow	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ollie, Kein Problem, ist ja schon toll, dass es überhaupt so nette Leute wie dich gibt, die hier helfen Doch, mittlerweile verstehe ich das glaube ich auch. Das mit dem x=s dachte ich mir auch, aber mein Problem besteht jetzt darin dies mathematisch korrekt zu formulieren bzw. zu beweisen; als Erstsemestler tut man sich da recht schwer. Ich wüsste z. B. nicht, wie ich beweisen kann, dass $\begin{eqnarray} M_u \end{eqnarray}$ nicht die leere Menge ist. Bei $\begin{eqnarray} M_o \end{eqnarray}$ habe ich ja vorhin geschrieben, dass das nur der Fall sein kann, wenn $\begin{eqnarray} M_u = R \end{eqnarray}$ ist. Aber wie ich das hinschreibe wüsste ich wieder nicht. Beim 2. Schritt ist mir teilweise was eingefallen: Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} M_u \cup M_o = R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_u \cup M_o <=> x \in M_u \vee (x \in R \wedge x \notin M_u) <=> x \in R \end{eqnarray}$ Damit ist bewiesen, dass $\begin{eqnarray} M_u \cup M_o = R \end{eqnarray}$ gilt. Bei der 3. Eigenschaft wiederum wüsste ich nicht wie ichs beweisen sollte.
04.05.2012, 22:30	SilverShadow	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mittlerweile ist mir auch aufgefallen, dass der Beweis übers Dedekindsche Schnittpaar ziemlich umständlich ist, mit Archimedes würds wohl einfacher gehen. Man solls ja aber scheinbar mit dem Schnittpaar machen. Omg, bin ja in der Schulmathematik gelandet. Dabei handelt es sich hier um ein Uni Übungsblatt Falls das ein Mod liest: Thread bitte verschieben

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