Rechteckimpuls 3 mal falten

01.05.2012, 15:44

winty

Rechteckimpuls 3 mal falten

Die Faltung (f * g)(t)=(g * f)(t) von zwei Funktionen ist symmetrisch in f und g.
Bestimmen sie die Fläche I eines dreimal mit sich selbst gefalteten Rechteckimpuls der Breite 2a, d.h. für a > 0.

Diese Aufgabe soll mittels Fouriertransformation gelöst werden. Eine Faltung im Zeitbereich entspricht ja einer Multiplikation im Frequenzberech.
Wenn ich die Rechteckfunktion transformiere bekomme ich ja:
2/w*sin(w*a).
Wenn ich diese Funktion nun hoch 3 nehme, kann ich sie ja zurück transformieren und erhalte die 3-fache Faltung des Rechteckimpulses. Ich weiß nur nicht, wie ich die Rücktransformation berechne, da ich das uneigentliche integral:

integral ((8/w^3)*sin^3(w*a)dw)

nicht lösen kann. Wie gehe ich jetzt weiter vor? Ist mein Ansatz richtig??
Danke schon mal

EDIT: Habe versucht, latex einzufügen, das hat aber leider nicht funktioniert, sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \integral_{-\infty}^{\infty}8/w^3\cdot{} sin^3(w\cdot{}a)dw \end{eqnarray*}$

*** Der korrekte Code für die Darstellung eines Integrals ist nicht \integral, sondern \int Mit dieser Änderung wird aus obigem
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}8/w^3\cdot{} sin^3(w\cdot{}a)dw \end{eqnarray*}$
- Gruss gonnabphd***

01.05.2012, 16:43

gonnabphd

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Zum LaTeX-Code siehe oben.

Zitat:

Wenn ich diese Funktion nun hoch 3 nehme, kann ich sie ja zurück transformieren und erhalte die 3-fache Faltung des Rechteckimpulses. Ich weiß nur nicht, wie ich die Rücktransformation berechne, da ich das uneigentliche integral:

integral ((8/w^3)*sin^3(w*a)dw)

nicht lösen kann. Wie gehe ich jetzt weiter vor? Ist mein Ansatz richtig??

Du könntest das in der Tat so machen, allerdings tust du dir damit keinen Gefallen, denn es geht viel einfacher:

Wenn du eine integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f\in L^1 \end{eqnarray*}$ hast, mit Fourier-Transformierten $\begin{eqnarray*} \hat f \end{eqnarray*}$ , was ist dann $\begin{eqnarray*} \hat f(0) \end{eqnarray*}$ ? (an Definition ablesen)

Benutze das nun für $\begin{eqnarray*} f = \Pi \ast \Pi\ast\Pi \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$ der Rechteckpuls ist.

Grüsse Wink

01.05.2012, 17:57

winty

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Diesen Wink hat unser Prof uns auch schon gegeben, habe ihn aber leider nicht verstanden. Wieso ist f(0) dafür von Nöten? Könntest du mir das genauer erkären?

Danke schonmal für deine Antwort smile

01.05.2012, 18:15

gonnabphd

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Drei(-einhalb) einfache Schritte ins Glück:

- Was willst du berechnen?

- Was ist die Definition der Foruier-Transformation einer integrierbaren Funktion f(x)? Schreib sie auf.

- Was passiert, wenn du in der Fourier-transformierten $\begin{eqnarray*} \omega = 0 \end{eqnarray*}$ setzt? (schau dir die Definition an!)

Benutze das nun für $\begin{eqnarray*} f = \Pi \ast \Pi\ast\Pi \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$ der Rechteckpuls ist.

02.05.2012, 11:06

winty

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Okay, das habe ich jetzt verstanden.
Bekomme dann 2a heraus für F(0).
Dies muss ich ja nun hoch 3 nehmen und zurücktransformieren, also:

1/2a *integral (8*a^3*e^(iwt)) aber mit welchen Grenzen?
Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass die 3-fache Faltung eines Rechtecks ein Trapez ergeben muss. Ist meine Überlegung richtig?

Danke nochmal.

02.05.2012, 13:27

gonnabphd

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Zitat:

[...] und zurücktransformieren, also: [...]

Nein, eben nicht... Ich kann dir nur vorschlagen, einfach mal genau die drei Schritte von oben durchzugehen.

D.h. beantworte den ersten, dann den zweiten und dann den dritten - und schau, ob du anschliessend verstehst, wohin ich dich mit den Tipps führen will.

02.05.2012, 22:12

winty

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Jetzt hab ichs. F(0) ist der Gleichanteil der Zeitfunktion, sprich die Fläche unter dem Rechteck...
Danke für deine Hilfe smile

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