Konvexe Konjugation und Infimumsfaltung

01.05.2012, 15:13	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexe Konjugation und Infimumsfaltung Hallo! Ich habe gerade ein Problem mit einem Beweis. Seien $\begin{eqnarray} \phi, \psi \end{eqnarray}$ im Folgenden immer konvexe Funktionen, nicht identisch unendlich, $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray}$ Dann ist die konvex Konjugierte von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} \phi^: \mathbb R^n \to \mathbb R\quad y\mapsto \sup_{x \in \mathbb R^n} \langle x, y \rangle - \phi (x). \end{eqnarray}$ Die Infimumsfaltung von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ sei: $\begin{eqnarray} (\phi \square \psi)(z) = \inf_{x\in \mathbb R^n} \phi(x) + \psi(z-x) \end{eqnarray}$ Und jetzt zur Aufgabe: Zu zeigen ist, dass Konjugation und Faltung sich "gut vertragen": Zu Zeigen: $\begin{eqnarray} (\phi\square \psi)^(y) = \phi^(y) + \psi^(y) \end{eqnarray}$ Ich bin so rangegangen: $\begin{eqnarray} <br /> (\phi\square \psi)^(y) &=& \sup_{z \in \mathbb R^n} \left\{\langle z, y \rangle - (\phi \square \psi) (z) \right\}\\<br /> &=& \sup_{z \in \mathbb R^n}\left\{ \langle z, y \rangle - \inf_{x\in \mathbb R^n}\left[ \phi(x) + \psi(z-x) \right]\right\}\\<br /> &&\text{Das Infimum werde nun für $x=x_0$ angenommen}\\<br /> &=& \sup_{z \in \mathbb R^n}\left\{ \langle z, y \rangle - \left[ \phi(x_0) + \psi(z-x_0) \right]\right\}\\<br /> &=& \sup_{z \in \mathbb R^n}\left\{ \langle x_0, y \rangle + \langle z-x_0, y \rangle - \left[ \phi(x_0) + \psi(z-x_0) \right]\right\}\\<br /> &=& \langle x_0, y \rangle - \phi(x_0) + \psi^(y)\\<br /> \end{eqnarray}$ Genauso kann man zeigen: $\begin{eqnarray} (\phi\square \psi)^(y) = \phi^(y) + \langle z - x_0, y \rangle - \psi(z - x_0) \end{eqnarray}$ Aber irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch und bekomme noch nicht den letzten Schritt hin. Kann mir dabei jemand helfen? Danke, Duedi
01.05.2012, 18:42	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ich aus den bisherigen Überlegungen extrahieren kann, ist: $\begin{eqnarray} (\phi\square\psi)^(y) \leq \phi^(y) + \psi^(y) \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt noch zeigen könnte, dass für $\begin{eqnarray} x_0 := \mathrm{arginf}\, \phi(x) + \psi(z-x) \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \langle x_0, y \rangle - \phi(x_0) = \sup\langle x, y \rangle - \phi(x) = \phi^(y), \end{eqnarray}$ so bestünde Gleichheit.
02.05.2012, 08:06	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, ist jetzt gelöst, ein Prof hat mir den entscheidenden Kniff gezeigt (nämlich -inf = sup ). Wen es interessiert: $\begin{eqnarray} <br /> (\phi\square \psi)^(y) &=& \sup_{z\in\mathbb R^n}\left(\langle z, y\rangle - \inf_{x\in\mathbb R^n} \phi(x) + \psi(z-x) \right) = \sup_{z\in\mathbb R^n}\sup_{x\in\mathbb R^n}\left(\langle x, y\rangle +\langle z-x, y\rangle - \phi(x) - \psi(z-x) \right)\\<br /> &=& \sup_{x\in\mathbb R^n}\sup_{z\in\mathbb R^n}\left(\langle x, y\rangle +\langle z-x, y\rangle - \phi(x) - \psi(z-x) \right)\\<br /> &=& \sup_{x\in\mathbb R^n} \langle x, y\rangle - \phi(x) + \sup_{z\in\mathbb R^n}\langle z-x, y\rangle - \psi(z-x)\\<br /> &=& \sup_{x\in\mathbb R^n} \left(\langle x, y\rangle - \phi(x)\right) + \sup_{z'\in\mathbb R^n}\left(\langle z', y\rangle - \psi(z')\right)\\<br /> &=& \phi^(y) + \psi^(y)<br /> \end{eqnarray*}$

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