Grenzwerte der Grundrechenarten beweisen.

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01.05.2012, 18:08

calculatorius

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Grenzwerte der Grundrechenarten beweisen.

Hallo liebe Mathefreunde smile

Ich habe nun eine andere Aufgabe vorbereitet bei der ich auf dem Schlauch stehe Forum Kloppe

Freue mich wieder über erleuchtende Antworten Freude

So, zur Aufgabe

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} a_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Entscheiden Sie für die folgenden vier Aussagen jeweils, ob sie allgemein gültig sind. Geben Sie jeweils einen Beweis, bzw. ein Gegenbeispiel an:

a) Ist $\begin{eqnarray*} a_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} b_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ divergent, so ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ divergent.

b)Ist $\begin{eqnarray*} a_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} b_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ divergent, so ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ divergent.

c)Ist $\begin{eqnarray*} a_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ divergent und $\begin{eqnarray*} b_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ divergent, so ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ divergent.

d)Ist $\begin{eqnarray*} a_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ divergent und $\begin{eqnarray*} b_{n_{n\in \mathbb N } } \end{eqnarray*}$ divergent, so ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ divergent.

Also rein intuitiv gesehen ist das ja klar, wenn ich z.b. irgendwas hab das gegen unendlich geht, und dann etwas unendliches dazu addiere, dann wird das wieder unendlich, bei den anderen ist es ja ähnlich. Aber hier wird jetzt nun ein Beweis verlangt, ich weiß leider nicht genau was als Beweis zulässig ist, einfach ein Beispiel angeben reicht bestimmt nicht.

Könnte ich so etwas tun:

Es ist ja klar das :
(n durchläuft alle nat. zahlen)

$\begin{eqnarray*} a_{n} \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \infty + b_{n} = \infty \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte ich wahrscheinlich nicht bei jedem Teil einfach was mit unendlich hinschreiben oder? Käme mir ein wenig zu simple vor.

Lg
smile

01.05.2012, 18:45

Che Netzer

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RE: Grenzwerte der Grundrechenarten beweisen.
Deine Rechnung mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich falsch.
Probiere bei a) einen Widerspruchsbeweis. Bei allen anderen kannst du ein Gegenbeispiel finden.
Beachte auch, dass es divergente Folgen, die nicht gegen Unendlich divergieren.

mfg,
Ché Netzer

01.05.2012, 19:47

calculatorius

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Hi che

cool das du mir wieder hilfst smile

mit 16 jahren geschockt

Also bei a) hab ich mal das versucht:

a konvergent + b divergent = (a+b) divergent

Jetzt die Gegenannahme:

a konvergent + b divergent = (a+b) konvergent

$\begin{eqnarray*} a \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a^{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{b^{n}*n}{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} b^{n} \end{eqnarray*}$

was ja divergent ist, und somit im Widerspruch zu unserer Gegenannahme.

Kann man das so stehen lassen^^?

Lg smile

01.05.2012, 20:19

Che Netzer

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Ich kann nicht ganz nachvollziehen, was du da rechnest...
Was ist a?
Woher kommt das $\begin{eqnarray*} \tfrac1n \end{eqnarray*}$ ?
Warum potenzierst du a?
Woher kommt diese Gleichung?
[...]

Angenommen, $\begin{eqnarray*} (a_n+b_n)_n \end{eqnarray*}$ wäre konvergent. Was hieße das?

01.05.2012, 20:37

calculatorius

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Also das waren Beispiele für Folgen. 1/n z.b. ist doch eine konvergente. Ja und wenn die beiden addiert konvergent wäre würde das bedeuten das sie einen konkreten Wert annehmen. Ja und ich hab doch gezeigt diese dann keinen konkreten Wert ergibt, da a^n mit a größer 1 wieder eine konvergente Folge ist, und das ist ja ein Widerspruch oder wie?^^ hm

Gruß !!

01.05.2012, 21:36

HAL 9000

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Anscheinend hast du dir irgendwann mal eingeprägt, dass zum Beweis der Falschheit einer Aussage ein Gegenbeispiel genügt. Das ist richtig, und das kannst du auch bei b)-d) so machen.

Hier bei a) sollst du aber nicht die Falschheit der Aussage beweisen, sondern deren Richtigkeit. Dass das mit den Mitteln eines indirekten Beweises geschieht, ändert nichts an dieser Tatsache!!! Du solltest den Rat von Che Netzer befolgen.

01.05.2012, 21:58

calculatorius

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Und was soll das nun bedeuten wenn a+b konvergent ist? Das a+b einen Grenzwert hat? Soll ich dann den limes von beiden Summanden betrachtet? Geht wahrscheinlich aber nicht weils nicht zu kryptisch ist hm

Gruß

01.05.2012, 22:07

HAL 9000

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Du irrst aber ganz schön ziellos durch die Gegend. unglücklich

Du muss für allgemeine $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ divergent die zur Behauptung gegenteilige Aussage " $\begin{eqnarray*} (a_n+b_n) \end{eqnarray*}$ konvergent" zu einem Widerspruch führen.

Tipp: Ist es möglich, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_n+b_n) \end{eqnarray*}$ konvergent sind, aber $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ nicht? Denk mal an die Rechenregeln für konvergente Folgen!

01.05.2012, 23:15

calculatorius

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Für konvergente Folge gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_n + b_n) = (\lim_{n \to \infty } a_n) + (\lim_{n \to \infty } b_n) \end{eqnarray*}$

Und wenn jetzt $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ divergent ist wär das dann so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_n + b_n) = (\lim_{n \to \infty } a_n) + (\infty ) \end{eqnarray*}$
Dann hätt ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_n + \infty) \end{eqnarray*}$
Und das wäre schon mal ein Widerspruch?

Ok es gibt auch, wie che schon gesagt hat, divergente Folgen, die nicht gegen Unendlich divergieren, und wie soll ich das zeigen? Eine allgemeine divergente Folge einsetzen? verwirrt

01.05.2012, 23:19

calculatorius

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Also in Worten noch mal : Wenn die Teilsummen konvergieren, konvertiert auch die Summe. Und wenn einer der Teilsummen divergiert passiert??.....-.- ich muss ins Bett^^
Ich wünsche eine gute Nacht und danke für die Hilfe smile

01.05.2012, 23:28

Che Netzer

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Zitat:

Original von calculatorius
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_n + b_n) = (\lim_{n \to \infty } a_n) + (\lim_{n \to \infty } b_n) \end{eqnarray*}$

Das kannst du nicht machen, der letzte Grenzwert existiert ja gar nicht. Du weißt nur, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) \end{eqnarray*}$ existieren. Verknüpfe die nun so durch Rechenoperatoren und Grenzwertsätze, dass ein Widerspruch entsteht. Dabei sollte dir egal sein, wie genau diese Grenzwerte oder Folgen aussehen; du musst über die Folgen nur wissen, welche Grenzwerte existieren und welche nicht.

Edit: So, ich sollte aber auch mal ins Bett. Ich durfte heute ein komplettes Programm schreiben und danach noch zwei Hausaufgabenblätter vollständig bearbeiten und mich dabei auch noch damit herumschlagen, dass der Computer beim Kontrollrechnen einen Fehler gemacht hat böse

Und morgen muss ich um 6 Uhr aufstehen, da möchte ich dann doch mal schlafen smile

02.05.2012, 09:36

HAL 9000

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@calculatorius

Es sieht ja irgendwie nicht so aus, als würdest du von selbst drauf kommen, also will ich mal den Tipp

Zitat:

Original von Che Netzer
Du weißt nur, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) \end{eqnarray*}$ existieren. Verknüpfe die nun so durch Rechenoperatoren und Grenzwertsätze, dass ein Widerspruch entsteht. Dabei sollte dir egal sein, wie genau diese Grenzwerte oder Folgen aussehen; du musst über die Folgen nur wissen, welche Grenzwerte existieren und welche nicht.

deutlichst untersetzen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(a_n+b_n)}_{\textrm{konvergent}} ~ - \underbrace{a_n}_{\textrm{konvergent}} = b_n \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das für die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ hinsichtlich Konvergenz/Divergenz?

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