Produkt von zwei Idealen

01.05.2012, 19:39

mathinitus

Produkt von zwei Idealen

Das Produkt von zwei Idealen ist ja definiert als alle endlichen Summen von Produkten von Elementen aus den Idealen. In Z braucht man jedoch die endlichen Summen nicht. Seien zwei Ideale gegeben in Z, so ist das Produktideal immer das tatsächliche Produkt aus zwei Elementen der beiden Idealen. Kennt nun jemand einen Ring, indem man tatsächlich diese Summen braucht?

01.05.2012, 19:59

tmo

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Nimm z.b $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ und die Ideale $\begin{eqnarray*} (X,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X,3) \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} 5X = 2X+3X \end{eqnarray*}$ im Produktideal.

Lassen wir aber nur Produkte (ohne Summen) zu, so ist $\begin{eqnarray*} 5X \end{eqnarray*}$ nicht im Produktideal, weil 5 in keinem der beiden Ideale ist.

02.05.2012, 05:57

mathinitus

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Vielen Dank, so ein Beispiel habe ich gesucht. Hierbei fällt mir auf, dass die beiden Ideale, die multipliziert werden, keine Hauptideale sind. Klappt sowas auch mit Hauptidealen?

02.05.2012, 14:13

tmo

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Nein, mit Hauptidealen wird man kein Gegenbeispiel finden, es ist doch $\begin{eqnarray*} (a)(b)=(ab) \end{eqnarray*}$

03.05.2012, 06:27

mathinitus

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Zitat:

Original von tmo
Nein, mit Hauptidealen wird man kein Gegenbeispiel finden, es ist doch $\begin{eqnarray*} (a)(b)=(ab) \end{eqnarray*}$

Habe ich zwar noch nicht gewusst, kann man sich aber sehr schnell überlegen. Das Distributivgesetz hilft. Vielen Dank dir!

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