Indexnotation

01.05.2012, 23:29

_Seeker_

Indexnotation

Hi!

Ich habe folgende Aufgabe:
geg: 3x3 Matrix A, Vektoren $\begin{eqnarray*} u,b \in R^3 \end{eqnarray*}$
Ges: Gradienten von $\begin{eqnarray*} F(u) \text{ mit } F(u)=\frac{1}{2}u^{\top}Au+u^{\top}b \end{eqnarray*}$
Man soll die beiden Fälle von A symmetrisch bzw. nicht symm. betrachten.

Ich Prinzip ja ganz einfach, einsetzen und rechnen. Da aber in mehreren Fächern vermehrt Indexnotation vorkommt (obwohl eigentlich nie gelernt, naja), wollte ich das hier mal üben.
Mein Ansatz sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \Delta \left( \frac{1}{2}u^{\top}Au+u^{\top}b \right) = \Delta ( \frac{1}{2}u^{\top}(a_{kl}u_k) + u_jb_j ) = \partial{}{u_i}(\frac{1}{2}u_j \left(a_{kl}u_k \right)_j + u_jb_j) \end{eqnarray*}$
Vor allem beim letzten Schritte habe ich einfach mal was zusammengebastelt, damit es irgendwie aufgeht.
Meine Fragen:
a) Macht das überhaupt Sinn?
b) Wie würde ich diese Indizes nun auswerten? Ich finde im Internet immer nur Tensorrechungen, aber fast nichts mit Vektoren.

Vielen Dank!
lg, Seeker

01.05.2012, 23:59

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RE: Indexnotation
Abgesehen davon, dass du einen Laplace- statt eines Nablaoperators gesetzt hast, sind da leider noch Fehler drin - auch und vor allem, weil du gar nicht ableitest...

Indexnotation heißt: Du schreibst die Summen, die sich bei der Rechnung ergeben, explizit aus.
Ich benutze jetzt mal für alle Zeilenindizes obere Indizes und für alle Spaltenindizes untere Indizes - sonst verliere ich den Überblick.
Heißt: Deine Matrixelemente sind dann $\begin{eqnarray*} A_{ij}=A^i_j \end{eqnarray*}$
Okay?

Matrixmultiplikation ist dann: $\begin{eqnarray*} A\cdot v= A^i_j v^j \end{eqnarray*}$
Summation über oben und unten vorkommende Indizes.
Die Notation mit oben und unten ist in der Vektoranalysis nicht ganz sauber (sie stammt eigentlich aus der Differentialgeometrie - wo sie sauber ist; Das Problem wird auch unten in einem Schritt deutlich, wo plötzlich Indizes doppelt oben vorkommen und die Summation dann eine Matrix mit zwei oberen Indizes erzeugt), aber wenn ich alle Indizes unten mache, werde ich im Editor kirre.

Heißt dann in deinem Fall:
$\begin{eqnarray*} \nabla(\frac{1}{2}u^tAu+u^tb)=\partial^i (\frac{1}{2}u_j A^j_ku^k + u_jb^j) \end{eqnarray*}$
Und jetzt Produktregel (u sind deine Variablen). Abzählen: Es kommt ein Spaltenvektor bei raus.
$\begin{eqnarray*} \partial^i (\frac{1}{2}u_j A^j_ku^k + u_jb^j)=\frac{1}{2}(\partial^iu_j) A^j_ku^k+\frac{1}{2}u_jA^j_k(\partial^iu^k)+\partial^iu_jb^j<br /> =\frac{1}{2}(\delta^i_j) A^j_ku^k+\frac{1}{2}u_jA^j_k(\delta^{ik})+\partial^iu_jb^j<br /> =\frac{1}{2}A^i_ku^k+\frac{1}{2}u_jA^j_k\delta^{ki}+b^i \end{eqnarray*}$

Vielleicht kannst du jetzt weitermachen (kannst das gerne nochmal aufschreiben mit Indizes alle unten). Jetzt musst du dir überlegen, warum der erste und der zweite Term (wegen der Symmetrie der Matrix) eigentlich dasselbe sind. Anders gefragt: Was steht da?

Gruß
MI

02.05.2012, 00:50

_Seeker_

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Danke! Keine Ahnung, was der Laplace da zu suchen hat smile

Wenn ich das richtig sehe, würde es dann so weitergehen:
$\begin{eqnarray*} \cdots = \frac{1}{2}A^i_ku^k+\frac{1}{2}u_jA^j_k\delta^{ki}+b^i = \frac{1}{2}A^i_k u^k +\frac{1}{2}u_j A^j_i + b^i = \frac{1}{2} \left( A^i_j u^j + u_j A^j_i \right) + b^i = \frac{1}{2} \left( A_{ij} u_j + A_{ji} u_j \right) + b^i = \frac{1}{2}(Au + A^{\top}u) + b \end{eqnarray*}$

Für A symmetrisch, d.h. $\begin{eqnarray*} A_{ij}=A_{ji} \end{eqnarray*}$ wäre es dann noch:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( A_{ij} u_j + A_{ji} u_j \right) + b^i = A_{ij} u_j + b^i = Au+b \end{eqnarray*}$

lg, Seeker

02.05.2012, 19:08

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Jau. An ein paar Stellen ist die oben-unten Indexnotation dann nicht ganz sauber, aber wie gesagt, das geht hier auch kaum.

Präziser: $\begin{eqnarray*} u_jA^j_k\delta^{ki}=u_jA^{ji} \end{eqnarray*}$ aber dann ist's halt keine schöne Matrix mehr...

Ansonsten sieht's gut aus. Schreib einfach alle Indizes unten hin (Reihenfolge beachten), dann ist's wunderbar.

Gruß
MI

03.05.2012, 11:25

Ehos

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Wenn man eine quadratische Form $\begin{eqnarray*} \vec x^T A\vec x \end{eqnarray*}$ betrachtet, sollte man die Matrix A in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil zerlegen gemäß $\begin{eqnarray*} \vec x^T (A_s+A_a)\vec x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_s=\tfrac{1}{2}(A+A^T) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_a=\tfrac{1}{2}(A-A^T) \end{eqnarray*}$ . Der antisymmetrische Anteil der quadratischen Form verschindet stets, so dass wir nur den symmetrischen Anteil "mitnehmen" müssen, also $\begin{eqnarray*} \vec x^TA\vec x=\vec x^T A_s\vec x \end{eqnarray*}$ . Anhand eines Beispiels macht man sich leicht klar, dass für den Gradienten gilt

$\begin{eqnarray*} \nabla (\vec x^T A\vec x)=2\cdot A_s\vec x \end{eqnarray*}$

Also auch beim Gradienten ist nur der symmetrrische Anteil der Matrix zu berücksichtigen. Die Indexschreibweise würde ich nicht anwenden, weil das die Sache unnötig verkompliziert.

03.05.2012, 22:15

_Seeker_

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Danke, wusste ich nicht =).

03.05.2012, 23:05

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Zitat:

Original von Ehos
Die Indexschreibweise würde ich nicht anwenden, weil das die Sache unnötig verkompliziert.

Klar ist die Schreibweise hier überflüssig - aber er hat ja auch geschrieben, dass er üben möchte. Ich gehe davon aus, dass er Physiker ist, und in dem Fall ist es sehr vernünftig sich damit etwas vertraut zu machen.
Physiker rechnen eben, soweit möglich, in Koordinaten (auch, weil sie's nicht anders können) - und gerade zum Studienbeginn tut man sich mit dem Kram ziemlich schwer, eben weil's nirgends so richtig erklärt wird.
Eine saubere Indexnotation kenne ich auch nur in der Differentialgeometrie - aber dort versteht man sie auch nur richtig, wenn man die koordinatenfreie Form kennt, die die wenigsten Physiker beherrschen.

Gruß
MI

04.05.2012, 09:14

Ehos

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@MI
Ich berechne den Gradienten einer quadratischen Form nochmals in "sauberer" Indexnotation:

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial }{\partial x^m}(a_{ij}x^ix^j)=\underbrace{\tfrac{\partial }{\partial x^m}(a^a_{ij}x^ix^j)}_{\text{antisymmetrischer Anteil=0}}+\underbrace{\tfrac{\partial }{\partial x^m}(a^s_{ij}x^ix^j)}_{\text{symmetrischer Anteil}}=\underbrace{a^s_{ij}\tfrac{\partial x^i}{\partial x^m}x^j+a^s_{ij}x^i\tfrac{\partial x^j}{\partial x^m}}_{\text{Produktregel im symmetrischen Anteil}}=\underbrace{a^s_{ij}\delta^i_mx^j+a^s_{ij}x^i\delta^j_m}_{\text{wegen }a^s_{ij}\delta^i_m=a^s_{mj}}<br /> =a^s_{mj}x^j+a^s_{im}x^i=\underbrace{a^s_{mi}x^i}_{\text{Indexumbenennung}}+a^s_{im}x^i=\underbrace{a^s_{im}x^i}_{\text{Indexvertauschung}}+a^s_{im}x^i=2a^s_{im}x^i \end{eqnarray*}$

Eine koordinatenfreie Schreibweise ist im Allgemeinen natürlich besser. Ich finde aber das in der Geometrie verwendendete koordinatenfreie Cartan-Kalkül nicht gut. Dadurch werden die Formeln zu stark verkürzt und vom Inhalt entfremdet. Dem entspricht das in der Matrhematik leider oft beobachtetet Bestreben, die eigene Genialität durch übertriebene Verwendung von Abkürzungen vorzutäuschen

05.05.2012, 18:12

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Ich sehe was du machst. Ja, das ist in der Tat wesentlich sauberer als meine Notation. Danke für die Korrektur!

Hätte mir eigentlich auch selbst auffallen können unglücklich

, naja, für's nächste Mal in der Vektoranalysis weiß ich dann Bescheid.

Ich mag die koordinatenfreie Schreibweise, um mir Dinge schnell zu merken. Zum Rechnen und z.T. verstehen wird dann in Koordinaten umgeformt Augenzwinkern

.

Gruß
MI

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