Wärmeleitungsgleichung

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02.05.2012, 08:50	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
Wärmeleitungsgleichung hallo, ich soll zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{\lambda } (x,t)=u(\lambda x,\lambda ^2 t) \end{eqnarray}$ eine weiter lsg der homog. wärmeleitungsgleich. ist. meine idee ist: ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray} u' - \Delta u=0 \end{eqnarray}$ ist das das gleiche wie $\begin{eqnarray} u_{t} -u_{xx} =0 \end{eqnarray}$ also hab ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ \lambda ^2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber das gibt nicht null?? edit von sulo: Ich habe den Titelbegriff mal ausgeschrieben. Wenn man Hilfe erwartet, sollte man nicht aus Bequemlichkeit den Titel abkürzen.
02.05.2012, 09:06	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wärmeleitungsgl. Du musst zeigen, wenn $\begin{eqnarray} \frac {\partial u(\vec x, t)}{\partial t}-\sum_i\frac {\partial^2}{\partial x_i^2}u(\vec x,t)=0 \end{eqnarray}$ gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray} \frac {\partial u_{\lambda}(\vec x, t)}{\partial t}-\sum_i\frac {\partial^2}{\partial x_i^2}u_{\lambda}(\vec x,t)=0 \end{eqnarray}$ Und das folgt doch einfach aus der Kettenregel.
02.05.2012, 09:11	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Du musst dir überlegen, was passiert, wenn du die Funktion mit den "neuen" Variablen (nennen wir sie $\begin{eqnarray} \hat{x}, \hat{t} \end{eqnarray}$ ) nach x bzw. t ableitest. z.B. $\begin{eqnarray} \frac{du_{\lambda}}{dt} = \frac{du}{d\hat{t}}\,\frac{d\hat{t}}{dt} \end{eqnarray}$ (einfach Kettenregel) In deinem Fall gäbe das also $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}u_{\lambda}(\hat{x},\hat{t}) = u_t \cdot \lambda^2 \end{eqnarray}$ , wie du glaubs schon richtig gesehen hattest. Aber du musst auch nach x ableiten... lg, Seeker EDIT: zu langsam ^^
02.05.2012, 09:25	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
bekomm ich dann für die ableitung nach x $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}u(\hat{x},\hat{t}) = u_x \cdot \lambda \end{eqnarray}$ ? aber ich brauch ja die zweite abl. und die ist doch null?
02.05.2012, 09:29	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die "neue" Lösung $\begin{eqnarray} u(\lambda x, \lambda^2 t) \end{eqnarray}$ bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray} u'(t', x') \end{eqnarray}$ , wobei gilt $\begin{eqnarray} t'=\lambda^2 t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x'=\lambda x \end{eqnarray}$ . In diesen neuen Variablen lautet die 1.Zeitableitung von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ gemäß Kettenregel $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial t}=\tfrac{\partial u'_\lambda}{\partial dt'}\underbrace{\tfrac{dt'}{d t}}_{\lambda^2} \end{eqnarray}$ . Die 1.Ortsableitung lautet analog $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial x}=\tfrac{\partial u'}{\partial x'}\underbrace{\tfrac{dx'}{d x}}_{\lambda} \end{eqnarray}$ . Nochmaliges Ableiten nach dem Ort liefert $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\tfrac{\partial u'^2}{\partial x'^2}\underbrace{\left (\tfrac{dx'}{d x} \right )^2}_{\lambda^2} \end{eqnarray}$ . Einsetzen der Ableitungen in die Dgl. liefert die neue Dgl. $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u'}{\partial t'} \lambda^2=\tfrac{\partial^2 u'}{\partial x^2}\lambda^2 \end{eqnarray}$ . Division durch $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray}$ liefert das Gewünschte. Physikalisch bedeutet das Einführen der neuen Variablen lediglich das Benutzen neuer Maßeinheiten für Ort und Zeit, z.B. Zentimeter anstelle von Millimeter und Minuten anstelle von Sekunden usw.
02.05.2012, 10:18	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, alles klar ich soll das jetzt noch verwenden und zeigen, dass auch $\begin{eqnarray} v(x,t)=x \nabla u+2tu' \end{eqnarray}$ eine lsg der homog wärmeleitungsgl ist. also für u' hab ich dann wieder $\begin{eqnarray} u'=\tfrac{\partial u}{\partial t}=\tfrac{\partial u'_\lambda}{\partial dt'}\lambda ^2 \end{eqnarray*}$ der gradient ist doch einfach einmal nach x und nach t ableiten oder?
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02.05.2012, 12:11	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Allgemein gilt schon, dass der Gradient einer Funktion einen Vektor mit den einzelnen partiellen Ableitungen ergibt. Aber dann hättest du hier ja ein Problem. Wenn es z.B: wieder eine 1D-Wärmegleichung ist, so hättest du bei $\begin{eqnarray} x%20\nabla%20u \end{eqnarray}$ einen Vektor und bei $\begin{eqnarray} 2tu%27 \end{eqnarray}$ einen Skalar. Wie du es schon beim Laplaceoperator oben gesehen hast, bezieht sich der nur auf Ortsvariablen (laplace sind ja grob gesagt einfach zwei gradienten). Das gleiche gilt z.B. auch für die Wellengleichung $\begin{eqnarray} u_{tt}=\Delta u \underbrace{=}_{1D} u_{xx} \end{eqnarray}$ .
02.05.2012, 14:04	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
wie muss ich eig vorgehen? muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} v'-\Delta v=0 \end{eqnarray}$ ist? also v ableiten und laplace von v bilden??
02.05.2012, 15:14	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau EDIT: Vielleicht noch als Tipp: Am Schluss solltest du mehrere Terme erhalten, die du einzeln in die Form $\begin{eqnarray} u_t-u_{xx} \end{eqnarray}$ bringen kannst, wobei du weisst, dass diese Terme =0 sind.
03.05.2012, 22:00	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
also als erstes muss ich wieder die ableitungen bilden $\begin{eqnarray} \frac{\partial v}{\partial t} =\frac{\partial v}{\partial t}2u' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial x}\nabla u \end{eqnarray}$ stimmt das soweit?
03.05.2012, 22:36	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. Dein u ist ja auch eine Funktion. Beim ersten Term kommt ja sogar explizit dessen Ableitung vor. Du musst also die Kettenregel anwenden. Und du kennst ja v, also kannst du deine Ableitungen auch so formulieren, dass nur noch u vorkommt (bzw u' etc.) Eine Möglichkeit ist es, wirklich alles auszurechnen. Nehmen wir z.B. für eine Dimension: $\begin{eqnarray} \frac{\partial%20v}{\partial%20t}%20=\frac{\partial%20v}{\partial%20t}(xu_x+2tu_t) = xu_{tx}+2u_t+2tu_{tt} \end{eqnarray}$ Bei dieser Methode muss man am Schluss ein wenig "basteln", um zu sehen, dass die Behauptung stimmt. Etwas helfen könnte hier die Schreibweise, wo du z.B. nie $\begin{eqnarray} u_{tt} \end{eqnarray}$ schreibst, da du weisst, dass du am Schluss nur erste Ableitungen nach der Zeit und zweite nach dem Ort brauchen kannst (da diese so in der Wärmeleitungsgl. vorkommen). Man könnte es also für gleiches obiges Beispiel so schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{\partial%20v}{\partial%20t}%20=\frac{\partial%20}{\partial%20t}(xu_x+2tu_t) = x\frac{\partial}{\partial t}(u_{x})+2u_t+2t\frac{\partial}{\partial t}(u_{t}) \end{eqnarray}$ Aber das ist nur ein Detail.
04.05.2012, 09:59	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
ist dann die ableitung von v nach x $\begin{eqnarray} \frac{\partial v}{\partial x}= \frac{\partial (xu_{x}+2tu_t )}{\partial x}=u_x+xu_{xx}+2tu_{xt} \end{eqnarray}$ und die 2. ableitung $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}= \frac{\partial (u_x+xu_{xx}+2tu_{xt})}{\partial x}=u_{xx}+u_{xx}+2tu_{xxt}+xu_{xxx} \end{eqnarray}$ so?
04.05.2012, 10:40	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz: Wenn u Lösung von $\begin{eqnarray} u_t=u_{xx} \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} v=xu_x+2tu_t \end{eqnarray}$ Lösung von $\begin{eqnarray} v_t=v_{xx} \end{eqnarray}$ Beweis: Die Ableitungen von v lauten $\begin{eqnarray} v_t=xu_{tx}+2u_t+2tu_{tt} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_x=u_x+xu_{xx}+2tu_{tx} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{xx}=2u_{xx}+xu_{xxx}+2tu_{txx} \end{eqnarray}$ Einsetzen in die Gleichung $\begin{eqnarray} v_t=v_{xx} \end{eqnarray}$ (die wir eigentlich noch beweisen wollen), liefert $\begin{eqnarray} \underbrace{xu_{tx}}_A+\underbrace{2u_{t}}_B+\underbrace{2tu_{tt}}_C=\underbrace{2u_{xx}}_{B'}+\underbrace{xu_{xxx}}_{A'}+\underbrace{2tu_{txx}}_{C'} \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} u_t=u_{xx} \end{eqnarray}$ gilt offenbar A=A' und B=B' und C=C', womit der Satz bewiesen ist.
04.05.2012, 20:22	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
@Susi: Korrekt! =) Wie schon erwähnt kannst du, falls du nicht sofort siehst, weshalb jetzt Ehos' Terme genau rausfallen sollen, die Schlussgleichung etwas umschreiben, indem du die "überschüssigen Ableitungen" aus der Indexnotation rausnimmst und dann die Terme paarst. Für diesen Fall wäre das also: $\begin{eqnarray} \frac{\partial%20v}{\partial%20t}%20= x\frac{\partial}{\partial x}(u_{t})+2u_t+2t\frac{\partial}{\partial t}(u_{t}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}= 2u_{xx}+2t\frac{\partial}{\partial t}(u_{xx})+x\frac{\partial}{\partial x}(u_{xx}) \end{eqnarray}$ In die Gleichung einsetzen und passende Terme "paaren" ergibt dann: $\begin{eqnarray} 2(u_t-u_{xx}) + 2t\frac{\partial}{\partial t}(u_t-u_{xx})+x\frac{\partial}{\partial x}(u_t-u_{xx}) = 0 \end{eqnarray}$ Wenn du dies nun mit der Wärmegleichung vergleichst, siehst du sofort, dass jeder dieser Terme = 0 ist.

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