Integrale durch Normen abschätzen

02.05.2012, 09:03	ushiro	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrale durch Normen abschätzen Hallo, ich habe eine Verständnisfrage zu einer anscheinend gängigen Art und Weise Integrale abzuschätzen. Beispielsweise folgendes Integral: $\begin{eqnarray} I_{\epsilon} := \int_{B(0,\epsilon)} \Phi(y) \Delta_x f(x-y) dy \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi(y) = \frac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\cdot \frac{1}{r^{n-2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ beliebig (aber so regulär, wie man sich wünscht) Dabei bezeichnet $\begin{eqnarray} B(0,\epsilon) \end{eqnarray}$ den Ball in n Dimensionen um 0 mit Radius $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ , n die Dimension, a(n) das Volumen des Einheits-Balls in n Dimensionen, r den Betrag von y. Den Betrag des Integrals kann man laut Lehrbuch folgenderweise abschätzen: $\begin{eqnarray} \|I_{\epsilon}\| \leq C \|\|D^2 f \|\|_{L^{\infty}} \int_{B(0,\epsilon)} \|\Phi(y)\| dy \leq C\cdot \epsilon^2 \end{eqnarray}$ Ich verstehe die erste Abschätzung mit der L-unendlich-Norm der zweiten Ableitungen von f schon nicht wirklich... Welcher Satz oder Gedanke steckt dahinter? Cauchy-Schwarz-Ungleichung? Hölder-Ungleichung?! Und in der zweiten Abschätzung.. Da wird denke ich das erste C und die Norm von f in die Konstante gepackt und das Integral mit dem quadratischen Radius des Balls abgeschätzt.. aber wieso ist mir auch nicht ganz klar. Hilfe! Viele Grüße
13.05.2012, 14:16	some1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne eine definitive Antwort dafür parat zu haben (ich habe mir nämlich dieselbe Frage gestellt bei diesem Beweis), habe ich mir das letztlich mit der Hölder-Ungleichung für Faltungen erklärt. Siehe dazu auch Faltungen bei Wikipedia, Unterpunkt Young'sche Ungleichung als Verallgemeinerung der Hölder-Ungleichung.

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