Uneigentliches Integral

02.05.2012, 10:12

Widooo

Uneigentliches Integral

Hallo,

Problem: Ich weiß die Lösung, komme aber nicht dahinter wie! böse

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx = \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} \int_a^1 \! \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx \end{eqnarray*}$

Frage: Kann man diesen Bruch auf eine Sin,Cos,Tan-Funktion umformen oder einfach integrieren?

Ich hab mal integriert.....

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} \int_a^1 \! \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx = \lim_{a \to 0} (-\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}) \end{eqnarray*}$ von a nach 1

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} (-\frac{\sqrt{1-1^{2}}}{1} + \frac{\sqrt{1-a^{2}}}{a}) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

02.05.2012, 10:19

klarsoweit

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Widooo
Ich hab mal integriert.....

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} \int_a^1 \! \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx = \lim_{a \to 0} (-\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}) \end{eqnarray*}$ von a nach 1

Könnte es sein, daß hier deine Stammfunktion falsch ist? verwirrt

02.05.2012, 10:23

Widooo

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Ich verstehe leider nicht was du jetzt genau meinst?

Angabe falsch ? <-- ist sie nicht
Integration falsch? <-- kann sein Big Laugh

Ansatz falsch? <--- sehr wahrscheinlich

02.05.2012, 10:30

klarsoweit

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Drücke ich mich so unklar aus?
Spätestens, wenn jemand sagt, daß die Stammfunktion falsch sein könnte, sollte man das kontrollieren, indem man diese mal ableitet.

02.05.2012, 10:48

Widooo

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okay..... also der Denkanstoss hat mich jetzt schonmal zum Ziel gebracht, jedoch mit Internet und wie gesagt deiner Hilfe!

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

Gibt es einen Weg ohne arcsinus auf das Ergebnis zukommen?

02.05.2012, 11:07

klarsoweit

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Du kannst natürlich auch x = sin(t) substituieren. smile

02.05.2012, 14:05

Widooo

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Vielen Dank für deine Hilfe !!!

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