Doppelintegration mit Substitution loesen

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02.05.2012, 11:11	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegration mit Substitution loesen Meine Frage: Hi Leuts ich muss folgendes Integral loesen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} dx \int_{-1}^1 dy \frac{x-a\cdot y}{(x^2+a^2-2xa\cdot y)^{3/2}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich dachte mir, dass ich den Nenner substituiere, also: $\begin{eqnarray} {(x^2+a^2-2xa\cdot y)^{1/2}}=u \end{eqnarray}$ Jetzt haengt aber das u von 2 Variablen ab, wie gehe ich dann bei der Substitution weiter vor? Viele Gruesse, chris
02.05.2012, 23:19	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Gute Idee! Das mit den beiden Variablen soll dich nicht verwirren. Du integriest ja nicht nach x und y gleichzeitig, d.h. wenn du z.B. zuerst nach y integrierst, kannst du x als einen Parameter betrachten, d.h. für $\begin{eqnarray} {(x^2+a^2-2xa\cdot%20y)^{1/2}}=u \end{eqnarray}$ wäre dann $\begin{eqnarray} dy = \frac{\sqrt{a^2-2axy+x^2}}{-ax}du \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ay = \frac{a^2+x^2-u^2}{2x} \end{eqnarray}$ Bei den Grenzen musst du halt schauen, was besser geht. Entweder die Grenzen subsitutieren (wobei sie dann von x abhängen werden, aber das ist kein Problem, da du ja nach y integrierst), oder für die Rechnung erstmals ignorieren, nach dem Integral rücksubstituieren und die y-Grenzen einsetzen. lg, Seeker
04.05.2012, 11:01	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey seeker, danke fuer deine Antwort. Wenn ich x ersetze kommt was sinnvolles heraus, substituiere ich aber y mit u, divergiert das Integral bei der x Integration. Kann das sein, oder muesste es fuer beide Faelle gehen und ich mach bei der y Substition nen Fehler. Viele Gruesse, chris
04.05.2012, 21:21	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi chris Stehe leider auch auf dem Schlauch. Ich kann soviel sagen. Da das Integrationsgebiet (vor der Substitution) unabhängig von x,y ist, sollte es keine Rolle spielen, in welcher Reihenfolge du integrierst. Eventuell kann es ein Problem sein, dass das eine Integral grenzwertig ist. Bei mir kommt jedenfalls bei beiden Varianten nichts schönes raus. Wenn man zuerst nach x integriert wird das Integral sehr schön, aber der Wert divergiert. Substituiert man y, so bekommt man ein riesiges zweites Integral für x... welches laut Mathematica aber auch divergiert. D.h. entweder es ist ein Fehler in der Aufgabe, oder die Antwort lautet effektiv dass es divergiert, oder dann muss da ein Mathematiker ran mit genauerem Wissen wie dieses uneigentliche Integral korrekt von Hand berechnet werden kann. =) Ich tippe auf eine nicht-Konvergenz. lg, Seeker
05.05.2012, 00:14	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich zuerst x substituiere, dann klappts bei mir. Geht eigentlich relative easy, denn dann ist: $\begin{eqnarray} dx=du\cdot \frac{u}{x-ay} \end{eqnarray}$ Da kuerzt sich dann einiges weg. Wenn ich jedoch versuche dy zu substituieren, dann gehts gar net. Es sollte doch eigentlich das gleiche rauskommen, oder? Viele Gruesse, chris
05.05.2012, 14:21	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit "klappt es"? Integrieren kann mans schon, aber das löst das Konvergenzproblem nicht Wenn ich zuerst x substituiere und integriere, erhalte ich für das uneigentliche Integral: $\begin{eqnarray} \lim_{a->\infty} \left\{ \left[ \sqrt{x^2+a^2-2yxa} \right] _{- a}^{a} \right\} \end{eqnarray}$
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05.05.2012, 18:07	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs so gmacht: eine x Substition ergibt dann folgende Grenzen: Aus 0 wird dann a und die obere Grenze Unendlich bleibt unendlich. Dann habe ich: $\begin{eqnarray} \int_a^\infty du\frac{u}{x-ay}\int_{-1}^1 \frac{x-ay}{u^3}=\int_a^\infty du\int_{-1}^1 dy \frac{1}{u^2} \end{eqnarray}$ Dann ist es ja jetzt doch einfach. Oder was meinst du speziell?
05.05.2012, 21:07	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ich meinte war, dass es nicht DIE x-Substitution gibt, gibt ne ganze Menge von Möglichkeiten. Aber sorry, war ganz mein Fehler. Ich hatte dein Ursprungproblem falsch abgeschrieben Bin mit deiner Rechnung einverstanden.
06.05.2012, 01:13	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie gesagt, wenn ich eben y substituiere, divergiert das ganze. Wie kann das sein?
06.05.2012, 16:12	_Seeker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann nicht sein. Die einzige Möglichkeit (abgsehen von Rechenfehlern) wäre ein Problem mit der Stetigkeit der Funktion. Ich habs auch mal von Hand ausgerechnet und komme ehrlich gesagt uf keine gescheite Lösung. Unter Annahme, dass $\begin{eqnarray} a \neq x \end{eqnarray}$ , d.h. a < 0, divergiert es aber auch. Für $\begin{eqnarray} a \geq 0 \end{eqnarray}$ bin ich überfragt, das ist echt hässlich. Womöglich führen wir irgendwo im Laufe der Rechnung etwas unerlaubtes durch, aber ehrlich gesagt sehe ich auch nicht wo, sorry.
06.05.2012, 17:39	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, schade. In diesem Fall will ich eigentlich nur den Fall a>0 betrachten. Den benoetige ich fuer die Rechnung. Danke fuer die Geduld und Hilfe. Vielleicht kennt sich ja noch ein anderer damit aus. Freundliche Gruesse, chris
07.05.2012, 17:51	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab des Raetsels Loesung: Wenn ich das Integral an der Polstelle aufsplitte gehts.

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