Wurzel 2 nicht rationale Zahl

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02.05.2012, 11:21	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel 2 nicht rationale Zahl Hi Ich hatte schon immer die folgende Unklarheit bez. des Beweises, dass Wurzel 2 nicht eine rationale Zahl ist. Und zwar geht der Beweis ja wie folgt: Behauptung: Es gibt keine rationale Zahl r, so dass r^2 = 2 Beweis: Wir nehmen an, es gibt einen (so weit wie möglich gekürzten Bruch) p/q = r, das heisst (p/q)^2 = 2 und damit p^2 = 2q^2 So nun heisst es Folgendes: "Da die Zahl 2 prim ist, enthalt p den Teiler 2" - warum gilt das? Das p^2 den Teiler 2 enthält ist klar - aber warum gilt dies für p? Und warum ist es hier relevant, dass 2 prim ist? Vielen Dank!! Anahita
02.05.2012, 11:49	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlege dir mal, was passiert, wenn du die Primfaktorzerlegung von p quadrierst und dann weißt, dass 2 als Faktor in p^2 vorkommt. air
02.05.2012, 12:00	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dh wenn ich zB annehme, dass die Primfaktorzerlegung von p = rst ist, dann ist p^2 = r^2s^2t^2 - und wenn nun p^2 den Faktor 2 enthält, muss (mind eines von) r,s oder t eine 2 sein...oder? yeah, wenn das stimmt.. alles klar, danke!
02.05.2012, 13:23	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal nicht ganz ausgereift, aber die Idee ist korrekt. Verstehst du auch den Zusatz "weil 2 prim ist"? Würde uns z.B. die 4 interessieren, so könnten wir aus 4\|p² nicht 4\|p schließen. air
02.05.2012, 17:08	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im Fall, dass wir statt einer 2 eine 4 hätten würde es soweit ich sehe einfach nicht funktionieren, falls p = 2 ist (dh ausgehend von p^2 = 4 * q^2). Sehe ich das richtig? Wie könnte ich das formaler schreiben? Das würde mich sehr interessieren. Leider bin ich noch ganz am Anfang - aber wenn du mir einen Tipp gibst, arbeite ich gerne daran LG und Danke
14.05.2012, 15:20	estebanwestphal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel 2 nicht rationale Zahl Die eleganteste Art, die ich kenne: Ein p aus N sei existent und q aus Z, das nicht verschwinde, sodass sich p als Dividend mit q zu einem Bruch verbinde. Nicht genug der Forderungen, eines vorher noch erwäge: Dann erst sei der Bruch gelungen, wenn im Quadrat sich 2 ergäbe. Doch dieses führt zum Widerspruch. "Warum nur?", fragst du - ganz zurecht. Dazu betrachte unser'n Bruch - unmöglich wird er dem gerecht. Es bleibt, das ist schnell nachgedacht, die Allgemeinheit unbeschränkt, wenn der Bruch grad so gemacht, dass als gekürzt man ihn erkennt. Der Bruch, quadriert, muss 2 erreichen. Das Doppelte von q hoch 2 der zweiten p-Potenz muss gleichen. Beides, klar, ist einerlei. Daraus folgt, dass p gerade. Als 2 mal k man denk' es sich. Kürzt man die Gleichung, sieht man - schade! - der Widerspruch zeigt sein Gesicht. Denn 2 teilt niemals q und p, da haben wir es - q.e.d.!
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14.05.2012, 15:22	estebanwestphal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel 2 nicht rationale Zahl Ansonsten geht es nur per Reductio ad absurdum.
14.05.2012, 15:46	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel 2 nicht rationale Zahl Ich finde ja diese wechselseitige Kürzerei durch 2 in der Gleichung p²=2q² immer ein bißchen lustig... Man könnte ja auch einfach sagen, der quadratfreie Anteil ist auf der linken Seite 1, auf der rechten 2, was natürlich nicht geht... Insbesondere würde dieser Widerspruchsbeweis auch dann noch funktionieren, wenn man 2 durch irendeine natürliche Zahl ersetzt, welche nicht Quadrat einer natürlichen Zahl ist..Aber damit würde man wohl vielen Schulbuchautoren ihr erklärtes Lieblingsbeispiel für einen indirekten Beweis wegnehmen und das geht natürlich nicht... Es wär noch zu erwähnen, dass von allen jenen, welche scheiterten beim Versuch dies darzustellen als Bruch die ersten waren Helenen...
22.05.2012, 15:38	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm, danke für den Ausflug zu mathematischen Limmericks und Schulbuchautoren ^^ Aber könnt ihr mir nun erklären, warum aus der Teilbarkeit durch 2 von p^2 selbes für p folgt? Wenn ich richtig verstanden habe, gilt dies ja allgemein für quadratfreie Zahlen und das kann man nur mit reductio beweisen?
22.05.2012, 15:43	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm mal an p wäre ungerade und quadriere dann mal.
22.05.2012, 16:01	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich glaub ich checks. dann gilt also für beliebige quadratfreie (und nicht zwingend prim!) teiler a: a \| p^2 -> a \|p korrekt?
22.05.2012, 16:38	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrrrekt...

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