Momenterzeugende Funktion

02.05.2012, 15:09

Jana1994

Momenterzeugende Funktion

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben smile

,

ich stehe gerade vor einem kleinen Problem, das mir leider auch die Literatur nicht hinreichend erläutern kann.
Es geht dabei um die momenterzeugenden Funktionen:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/d/e/6/de61cdab076e6381c2a8710d64abaf03.png

Ich habe sie auch einfach mal angehängt, bin aber zum ersten Mal hier und weis leider nicht, ob das funktioniert, sorry unglücklich

Mir geht es eigentlich nur um die Variablen und die Wirkungsweise der Funktion:

Kann ich die Funktion als multivariate Funktion auffassen, bzw meine Idee wäre, dass t das jeweilige Moment beschreibt (z.b.: 3tes Moment: t=3) und das ich X(bzw. x) einfach pro Moment durchlaufen lasse, um dann das jeweilig t-te Moment rauszukriegen... Jetzt wird aber dazu übergegangen, nach "k" abzuleiten um das k-te Moment herzuleiten...
Was beschreibt denn dann bitte "t"? Kann mir jemand bitte die beiden Variablen einmal anschaulich abgrenzen und die Wirkung, bzw. Funktion der Gleichung anschaulich erklären? Ganz wichtig: Warum ist es eine "e" Funktion (ich kann mir darunter wenig vorstellen, wenn ich es im Exponenten betrachte...)

bitte, bitte erklärt es mir einmal anschaulich,

gaaaanz liebe Grüße und danke :-*,

Jana

Meine Ideen:
t= ist das t-te Moment, aber es scheint ja dann doch irgendwie die Ableitung nach "k" zu sein... Hilfe smile

02.05.2012, 15:52

HAL 9000

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Bilde doch mal die Ableitungen erster und höherer Ordnung von $\begin{eqnarray*} M_X(t) = E\left( e^{tX} \right) \end{eqnarray*}$ ! Und betrachte diese dann an der Stelle $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ , dann müsstest du den Zusammenhang zu den Momenten eigentlich sehen.

02.05.2012, 16:16

Jana1994

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...leider immer noch etwas unklar :(
an der stelle null ist es relativ klar, aber wofür brauchen wir dann "t" überhaupt, bzw. was ist "t" und warum ist es eine exponentialfunktion... verwirrt

wir haben bei dem thema einen ziemlichen kaltstart hingelegt und ich versuche mir gerade alles zu erschließen...

trotzdem schon einmal danke für deine mühe smile

02.05.2012, 16:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jana1994
an der stelle null ist es relativ klar, aber wofür brauchen wir dann "t" überhaupt

Der zweite Teilsatz zeigt, dass es dir eben nicht klar ist. unglücklich

Der Aufforderung, doch mal nach t abzuleiten, bist du nicht nachgekommen. Nun gut, mache ich mal den Anfang:

$\begin{eqnarray*} M_X'(t) = E\left( \frac{\dd}{\dd t} e^{tX} \right) = E\left( e^{tX}\cdot X \right) \end{eqnarray*}$ ,

was an Stelle $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} M_X'(0) = E\left( e^{0}\cdot X \right) = E(X) \end{eqnarray*}$

führt. Weiter mit

$\begin{eqnarray*} M_X''(t) = (M_X'(t))' = E\left( \frac{\dd}{\dd t} e^{tX}\cdot X \right) = E\left( e^{tX}\cdot X^2 \right) \end{eqnarray*}$ ,

usw.

02.05.2012, 16:40

Jana1994

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hallo hall,

wenn ich t=0 setzte, erhalte ich nach der ersten ableitung den erwartungswert, nach der zweiten die varianz, nach der dritten die schiefe, dann die wölbung und immer so weiter... das vorgehen ist mir soweit (hoffe ich doch) klar. sprich: ich kann aus einer formel, die ich nicht verstehe, etwas herleiten, das ich kenne (ist mein problem so vielleicht klarer?). (was haben wir denn, wenn wir t=4, t=5, etc. einsetzen?)

es geht nur darum (ohne jede ableitung) wofür wir das "t" in der grundform haben, bzw. was es bedeutet.

könnte mir vielleicht jemand hier die “moment generating function” einmal in ihren bestandteilen erklären (auch warum wir mit "e hoch" starten) unglücklich

ist vielleicht eine blöde frage aber ich weiß wirklich nicht mehr weiter... also einmal ganz langsam und ohne vorwissen bitte smile

02.05.2012, 17:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jana1994
nach der zweiten die varianz

Nein, nur das zweite Moment $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ .

Die Varianz ist etwas anderes, nämlich $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ , bitte nicht verwechseln!

Nur im Fall $\begin{eqnarray*} E(X)=0 \end{eqnarray*}$ sind beide identisch, und auch nur in diesem Fall stimmt das mit der Schiefe für die dritte Ableitung etc.

Zitat:

Original von Jana1994
(was haben wir denn, wenn wir t=4, t=5, etc. einsetzen?)

Nichts verwertbares. Es ist dein Irrglaube, dass diese speziellen Funktionswerte eine besondere Bedeutung haben - keine Ahnung, wie du darauf gekommen bist. unglücklich

Zitat:

Original von Jana1994
es geht nur darum (ohne jede ableitung) wofür wir das "t" in der grundform haben, bzw. was es bedeutet.

Es ist das Argument der Funktion $\begin{eqnarray*} M_X(t) \end{eqnarray*}$ , nicht mehr und nicht weniger. Es gibt keine inhaltliche Bedeutung dieses Arguments, betrachte das ganze eher als "technisches Hilfsmittel".

Zitat:

Original von Jana1994
(auch warum wir mit "e hoch" starten)

Die Antwort ist schlicht: Weil es passt! smile

Wenn dir ein anderer Ansatz zur Berechnung der Momente naheliegender bzw. logischer erscheint, immer raus damit.

02.05.2012, 19:23

Jana1994

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na das ist doch mal eine super antwort und du bist sehr verständlich auf alle punkte eingegangen, vielen lieben dank hal smile

ich war am anfang fälschlich von einer multivariaten funktion mit "t" und "x" ausgegangen, aber jetzt ist alles gut

Tanzen

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