Rekursion

02.05.2012, 16:21

Thomas007

Rekursion

Moin miteinander

Ich habe folgendes gegeben:
$\begin{eqnarray*} I_m = \int_0^1 \! x^m cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Daraus soll ich nun eine Rekursionsformel herleiten.

Ich habe also mal I_m berechnet:
$\begin{eqnarray*} I_m = \left[x^m \cdot sin(x)\right] - \int_0^1 \! sin(x) \cdot m \cdot x^{m-1} \, dx \end{eqnarray*}$

Eigentlich müsste ich ja daraus bereits eine Rekursionsdefinition erkennen..allerdings tu ich das noch nicht.
Ist was falsch?

MfG, Thomas

02.05.2012, 17:28

HAL 9000

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Geduld, einfach noch eine Runde...

02.05.2012, 23:53

Thomas007

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$\begin{eqnarray*} I_{m-1} = \left[x^m sin(x) \right] - \left[-mx^{m-1} cos(x)\right] + \int_0^1 \! -cos(x) m(m-1)x^{m-2} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, es stimmt wenigstens. Allerdings sehe ich die Rekursion immernoch nicht - vor allem die sich wechselnden Vorzeichen sind nicht ausser Acht zu lassen...

03.05.2012, 00:23

Helferlein

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Da HAL grad nicht online ist:

Das ist immer noch $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ und Konstanten kannst Du aus dem Integral herausziehen.

03.05.2012, 09:54

Thomas007

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Ok, also $\begin{eqnarray*} \left[x^m sin(x) \right] \end{eqnarray*}$ ist klar, das gehört zu I_m.
Aber bei I_m wird ja noch das Integralstück abgezogen - wo "versteckt" sich denn das?

03.05.2012, 09:59

HAL 9000

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@Helferlein

So ist es. Wegen der sich so abzeichnenden Rekursion $\begin{eqnarray*} I_m = f(m,I_{m-2}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\geq 2 \end{eqnarray*}$ sind dann übrigens zwei Startwerte nötig, also $\begin{eqnarray*} I_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ . Zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ kann dabei auch nochmal das obige Zwischenresultat

$\begin{eqnarray*} I_m = \left[x^m \cdot \sin(x)\right]_{x=0}^1 ~-~ \int\limits_0^1 \sin(x) \cdot m \cdot x^{m-1} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ verwendet werden.

Zitat:

Original von Helferlein
Da HAL grad nicht online ist

Auch wenn ich online bin, kannst du gerne posten. Ich bin keiner von denen, die sich an "Einmischungen" stören - solange sie fachlich nicht völlig daneben sind. Augenzwinkern

EDIT:

@Thomas007

Hatte dein Posting noch nicht gesehen.

Zitat:

Original von Thomas007
Aber bei I_m wird ja noch das Integralstück abgezogen - wo "versteckt" sich denn das?

Verstehe jetzt nicht, was du meinst. Wir sind jetzt (entsprechend der Anmerkung von Helferlein korrigiert) bei

$\begin{eqnarray*} I_m = \Big[ x^m \sin(x) + mx^{m-1} \cos(x) \Big]_{x=0}^1 -m(m-1)\cdot \int\limits_0^1 \cos(x) x^{m-2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

dabei habe ich auch gleich noch Helferleins Tipp umgesetzt, die Konstante $\begin{eqnarray*} m(m-1) \end{eqnarray*}$ aus dem rechten Integral herauszuziehen. Keine Idee, wie es hier dann weitergeht?

03.05.2012, 10:20

Thomas007

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Besten Dank für die schnellen Tipps an beide smile

@HAL: Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} I_m = f(m,I_{m-2}) \end{eqnarray*}$ ? Das verstehe ich nicht genau.

Also I_0, I_1 habe ich nun mal bestimmt:
$\begin{eqnarray*} I_0 = sin(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_1 = x*sin(1) -1 + cos(1) \end{eqnarray*}$

Und wie es dann weiter geht, ist mit eurer Umformung (sorry..da hätte ich selbst drauf kommen müssen..) klar:
[@ HAL: Müsste es nicht I_{m-1} heissen? ]

$\begin{eqnarray*} I_{m-2} = \Big[ x^m \sin(x) + mx^{m-1} \cos(x) + m(m-1)x^{m-2}sin(x) \Big]_{x=0}^1 -m(m-1)(m-2)\cdot \int\limits_0^1 \sin(x) x^{m-3} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Allerdings besteht nun ja die eigentliche Schwierigkeit darin, das in eine Rekursion umzuschreiben. Was ich vorher meinte ist: I_m sowie I_{m-1} sind ja nicht mehr "offensichtlich" erkennbar in I_{m-2}...

03.05.2012, 10:25

HAL 9000

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Mir ist nicht klar, warum du den von Helferlein angesprochenen Fehler immer wieder und wieder begehst:

Du formst doch nach wie vor deine Gleichungszeile um, also bleibt das ganze gleich dem Wert $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ , wandelt sich also nicht in $\begin{eqnarray*} I_{m-1} \end{eqnarray*}$ bzw. nun schrecklicherweise auch noch $\begin{eqnarray*} I_{m-2} \end{eqnarray*}$ um.

Außerdem sagte ich oben "noch eine Runde", das sollte heißen: genau eine Runde. Also nicht noch zwei, oder drei, oder ...

03.05.2012, 11:39

Thomas007

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Ah, sorry. Das mit dem "m" war ein Denkfehler. Natürlich ist das immernoch I_m.
Also im Grunde ist es mir schon klar, wie es weitergeht. ABER: Für eine Rekursion sollte man doch den Ausdruck I_m in Form von sowas hier schreiben, oder?
$\begin{eqnarray*} I_m = x^m \cdot sin(1) - m \cdot I_{m-1} \end{eqnarray*}$ (ist jetzt nur ein Beispiel).
Allerdings seh ich die Rekursionsvorschrift noch nicht so ganz.

03.05.2012, 11:45

HAL 9000

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Und ich hatte gedacht, dass es von

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} I_m = \Big[ x^m \sin(x) + mx^{m-1} \cos(x) \Big]_{x=0}^1 -m(m-1)\cdot \int\limits_0^1 \cos(x) x^{m-2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} I_m = \sin(1) + m\cos(1) - m(m-1)I_{m-2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\geq 2 \end{eqnarray*}$

kein so schwieriger Schritt ist, aber wie man sich doch täuschen kann.

03.05.2012, 11:54

Mystic

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Zitat:

Original von HAL 9000
Auch wenn ich online bin, kannst du gerne posten. Ich bin keiner von denen, die sich an "Einmischungen" stören - solange sie fachlich nicht völlig daneben sind. Augenzwinkern

Ich fass das jetzt einmal als Pouvoir auf, hier einen Einwurf zu wagen, kann aber jetzt natürlich nur meiner eigenen Einschätzung nach dafür garantieren, dass ich damit nicht völlig daneben liege... verwirrt

Da der Threadersteller ganz offensichtlich hier ein Problem damit hat, über die Runden zu kommen - einmal macht er eine Runde zuwenig, dann dreht er wieder unnötigerweise eine "Ehrenrunde" - könnte es ihm die Sache leichter machen, wenn er das gegebenen Integral als Realteil von

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 x^m e^{ix} dx \end{eqnarray*}$

auffasst, denn da kommt er definitiv mit einer Runde aus... Big Laugh

03.05.2012, 12:01

Thomas007

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@HAL: Vielen Dank für die Hilfe!
..eigentlich ist es wirklich offensichtlich. Aber wenn man mit einer falschen Annahme probieren will, auf das richtige Resultat zu kommen, dann hat man keine Chance (ich habe immer x^m*sin(1) am Anfang gesetzt, deshalb kam ich nie auf einen grünen Zweig). Darf ich fragen, wie du drauf gekommen bist? Wirklich "nur" durch blosses hinschauen? (Also I_0 und I_1 jetzt mal ausgenommen..die sind ja meistens "speziell").

@Mystic:
So wollte ich sogar beginnen, indem ich cos(x) = 0.5(e^(ix) + e^(-ix)) setzte. Mich störte dann allerdings der Imaginärteil, weshalb ich's doch ohne "Umweg" probieren wollte.

Danke euch allen!

03.05.2012, 12:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mystic
denn da kommt er definitiv mit einer Runde aus...

Tatsächlich? Immerhin ist ja nach einer Rekursion für

$\begin{eqnarray*} I_m = \int\limits_0^1 x^m \cos(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

gesucht, nicht nach einer für

$\begin{eqnarray*} J_m = \int\limits_0^1 x^m e^{ix} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Und die Darstellung von $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit vom Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} J_{m-1} \end{eqnarray*}$ passt da m.E. nicht so ganz - aber vielleicht übersehe ich etwas. verwirrt

03.05.2012, 13:47

Mystic

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Ok, ich habe übersehen, dass hier wirklich nur eine Rekursionsformel (und nicht weitergehend eine explizite Formel) für $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ gefragt war, damit kann man man meinen Einwurf tatsächlich vergessen... unglücklich

Edit: Zwar könnte man immer noch argumentieren, dass man die "einstufige" Rekursion für $\begin{eqnarray*} J_m \end{eqnarray*}$ , nämlich

$\begin{eqnarray*} J_m = \sin 1-i \, cos 1 + i \,m \, J_{m-1} \quad (m>0) \end{eqnarray*}$

einfach zweimal anwendet, also dann

$\begin{eqnarray*} J_m = \sin 1 - i \cos 1 + i \, m (\sin 1 -i \cos 1 + i (m-1) J_{m-2}) \quad (m>1) \end{eqnarray*}$

berechnet, was auch auf

$\begin{eqnarray*} I_m = \Re(J_m)= \sin 1 + m \cos 1 - m(m-1)I_{m-2} \quad (m>1) \end{eqnarray*}$

führt, aber da das nicht einmal mir selbst gefällt, stehen die Chancen von vornherein schlecht, dass dies "Gnade" vor deinen Augen findet... unglücklich

03.05.2012, 17:36

HAL 9000

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Es findet absolut Gnade, aber es sind auch zwei Stufen. Wobei ich zugeben muss, dass die zweite Stufe mit weniger Aufwand verbunden ist als oben. Es lässt sich nun trefflich darüber streiten, ob dieser geringere Aufwand durch die notwendige komplexen Rechenoperationen plus Extrahierung des Realteiles aufgewogen wird - aber zu diesem Streit habe ich keine Lust, da die Bewertung zu subjektiv ist. Big Laugh

03.05.2012, 18:05

Mystic

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Ja, ich wollte ja damit auch nur aufzeigen, dass die man die Rekursiongleichung für die $\begin{eqnarray*} J_m \end{eqnarray*}$ auch zum Aufstellen der Rekursion für $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ benützen kann, wenn man unbedingt will, wenngleich das jetzt sicher ein Umweg ist, der nichts bringt... In meinem allerersten Posting hier ging ich ja, wie schon erwähnt, noch davon aus, dass man die explzite Formel für $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ aufstellen sollte, da hätte dann ein Vergleich der beiden Wege noch echt interessant sein können...

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