Lösung von Differentialgleichung

02.05.2012, 18:03	martin17	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung von Differentialgleichung Hallo Möchte gerne folgendes Anfangswertproblem lösen: $\begin{eqnarray} u'(t) = e^{u(t)} sin(t) \end{eqnarray}$ mit Anfangswert u(0) = 0 Meine Idee ist zunächst eine allgemeine Lösung zu bestimmen und in diese dann meine Anfangswertbedingung einzusetzen. Zunächst zur allgemeinen Lösung: Es handelt sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es ist $\begin{eqnarray} u'(t) = e^{u(t)} sin(t) \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} ln u'(t) = u(t) +ln sin(t) \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} ln u'(t) - u(t) = ln sin(t) \end{eqnarray}$ beidseitiges Integrieren führt dann zu $\begin{eqnarray} \int_a^b \! ln u'(t) - u(t)) \, dt = \int_a^b\! ln sin(t)) \, dt \end{eqnarray}$ . Was sagt ihr dazu? Kann man das bis jetzt so stehen lassen? Gruß martin
03.05.2012, 10:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikation der Differenzialgleichung $\begin{eqnarray} u'=e^u\sin(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} -e^{-u} \end{eqnarray}$ liefert die Gleichung $\begin{eqnarray} -u'e^{-u}=-\sin(t) \end{eqnarray}$ . Man kann beide Seiten unmittelbar integrieren und erhält $\begin{eqnarray} e^{-u}=\cos(t)+C \end{eqnarray}$ . Bildet man auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus, ergibt sich $\begin{eqnarray} -u(t)=\ln[\cos(t)+C] \end{eqnarray}$
03.05.2012, 17:43	martin17	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar das ist clever gemacht Vielen Dank für deine Antwort Gruß martin

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