Dgl. allgemeine Lsg.

02.05.2012, 18:07

JamesBond

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Dgl. allgemeine Lsg.

Hey

ich würde gern wissen ob ich das hier richtig gemacht habe.

Aufgabe: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung!

$\begin{eqnarray*} y''-3y'+2y=2x+1 \end{eqnarray*}$

homogene Lösung

$\begin{eqnarray*} y''-3y'+2y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2-2y+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{01}=2, y_{02}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{h}=c_1e^{2x}+c_2e^x \end{eqnarray*}$

partikuläre Lösung

$\begin{eqnarray*} y_{p}=c_1(x)e^{2x}+c_2(x)e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=c_1(x)*2e^{2x}+c_1'(x)e^{2x}+c_2(x)e^x+c_2'(x)e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''=c_1(x)*4e^{2x}+c_1'(x)*2e^{2x}+c_2(x)e^x+c_2'(x)e^x \end{eqnarray*}$

in dgl. einfügen.

$\begin{eqnarray*} 4c_1(x)e^{2x}-3c_1(x)e^{2x}+2c_1(x)e^{2x}+c_2(x)e^x-3c_2(x)e^x+2c_2(x)e^x+2c_1'(x)e^{2x}-3c_1'(x)e^{2x}+c_2'(x)e^x-3c_2'(x)e^x=2x+1 \end{eqnarray*}$

Additionsverfahren:

$\begin{eqnarray*} 3c_1(x)e^{2x}-c_1'(x)e^{2x}-2c_2'(x)e^x=2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_1'(x)e^{2x}+c_2'(x)e^x=0 \end{eqnarray*}$
________________________________________________________
$\begin{eqnarray*} c_1(x)*3e^{2x}-c_2'(x)e^x=2x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1(x)=\frac{2x+1+c_2'(x)}{3e^{2x}} \end{eqnarray*}$

Additionsverfahren:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{3e^{2x}}+\frac{c_2'(x)}{3e^{2x}}-c_2'(x)e^x=2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_1'(x)e^{2x}+c_2'(x)e^x=0 \end{eqnarray*}$
________________________________________________________________
$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{3e^{2x}}+\frac{c_2'(x)}{3e^{2x}}-c_2'(x)e^x=2x+1 \end{eqnarray*}$

nach c2 auflösen:

$\begin{eqnarray*} c_2'(x)=\frac{2x+1-\frac{2x+1}{3e^{2x}} }{\frac{1}{3e^{2x}}-e^x } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1'(x)=-\frac{c_2'(x)e^x}{e^{2x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2(x)=\int\,c_2'(x) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1(x)=\int\,c_1'(x) dx \end{eqnarray*}$

c1 und c2 einfügen --->allgemeine Lösung:

$\begin{eqnarray*} y=c_1(x)e^{2x}+c_2(x)e^x \end{eqnarray*}$

Ich hab das Gefühl das ich was falsch gemacht habe bzw. einen umständlichen Weg eingeschlagen habe.

Bin für jede Hilfe dankbar!

02.05.2012, 18:17

Equester

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Hi Mr. Bond,

am Anfang stellst du das charakteristische Polynom auf. Es ist hier sehr ungünstig den
Buchstaben y zu verwenden. Für gewöhnlich wird hier $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ verwendet.
Sonst ist der homogene Teil aber richtig gelöst.

Beim partikulären Teil kann ich dir aber nicht ganz folgen. Hast du "rechte Seite"-Ansatz
mit Variation der Konstanten kombiniert?
Ich würde dir hier den "rechte Seite"-Ansatz ans Herz legen. Du weißt wie du vorzugehen hast? Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.05.2012, 18:34

JamesBond

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Dgl. allgemeine Lsg.
Ich hab das nach einem Lehrvideo versucht zu lösen^^

Der "rechte Seite"-Ansatz sagt mir leider nichts.

02.05.2012, 18:41

Equester

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Bist du Schüler oder Student?
Hast du DGL schon vorher gelöst?
"rechte Seite"-Ansatz würde ich hier als üblich Methode vorschlagen.

Schau mal hier. In etwa der Mitte gehts los. Ich denke da ist es sehr
anschaulich und einfach erklärt.

02.05.2012, 18:57

JamesBond

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Dgl. allgemeine Lsg.
Ich bin Student.
Dgl. hab ich schon gelöst. Allerdings nur 1. Ordnung.

Der Link schaut ganz gut aus. Ich guck mir das mal ganz genau an. Ich versuch Morgen die Aufgabe zu lösen und stell sie dann wieder hier rein.

Bis dann smile

smile

02.05.2012, 18:59

Equester

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Geht klar, bis dann

Wink

Wink

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03.05.2012, 21:36

JamesBond

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Dgl. allgemeine Lsg.
Hey hier bin ich wieder.

Ich bin leider nicht so weit gekommen unglücklich

unglücklich

So wie ich das verstanden habe ist, das man die auf der rechten Seite der Gleichung ersetzt durch irgendeine andere die in einer Tabelle steht? Danach leitet man dementsprechend x-mal ab und stellt ein GLeichungssystem auf, wo man einen Koeffizientenvergleich durchführt. Dann schmiert man die ganze Butter in die Ausgangsgleichung und fertig ist?

03.05.2012, 21:51

Equester

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Hört sich zumindest mal gut an, so wie du das sagst Freude

Freude

.
Zeig mal deinen Ansatz Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

03.05.2012, 22:07

JamesBond

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Dgl. allgemeine Lsg.
Also ich habe erstmal wie davor die homogene Lösung gelöst.
Die war ja richtig:

$\begin{eqnarray*} y_h=c_1e^{2x}+c_2e^x \end{eqnarray*}$

Jetzt zur partikulären Lösung:

$\begin{eqnarray*} y_p=2x+1 \end{eqnarray*}$
Das müsste ja meine Störfunktion sein. Dafür hab ich sowas wie ein "Lösungsansatz" gefunden.

$\begin{eqnarray*} g(x)=b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} y_p=c_1x+c_0 \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt mein y? Muss ich diesen Term ableiten?

03.05.2012, 22:10

Equester

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Zitat:

Das müsste ja meine Störfunktion sein:
$\begin{eqnarray*} g(x)=b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$

und

Zitat:

Lösungsansatz:
$\begin{eqnarray*} y_p=c_1x+c_0 \end{eqnarray*}$

Ist beides richtig. Letzteres gefällt mir aber wieder von
der Notation nicht, da hier schon $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ belegt ist.
Das aber leite nun zweimal ab und setze es in die DGL ein. Ein Koeffizientenvergleich folgt.

03.05.2012, 22:22

JamesBond

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Dgl. allgemeine Lsg.
Yeahhh!

ok nächstes mal werde ich an die Notation denken smile

smile

Also abgeleitet wäre das:

$\begin{eqnarray*} y_p'=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p''=0 \end{eqnarray*}$

In die Dgl.:

$\begin{eqnarray*} 0-3*2+2*(2x+1)=2x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x+8=2x+1 \end{eqnarray*}$

Koeffizientenvergleich hab ich noch nie gemacht traurig

traurig

aber ich denke ich muss das in diesem Fall einfach nach x auflösen.

03.05.2012, 22:30

Equester

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Leite nochmals deinen Ansatz $\begin{eqnarray*} y_p=c_1x+c_0 \end{eqnarray*}$ ab. Wie kommst du bei
dir auf 2? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2012, 22:39

JamesBond

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Das versteh ich jetzt nicht. ist $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ nicht gleich 2 ?
Also muss ich nicht einfach 2x+1 ableiten oder hab ich da was falsch verstanden?

03.05.2012, 22:40

Equester

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Ja, das hast du falsch verstanden.
$\begin{eqnarray*} g(x)=b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$

Das ist deine rechte Seite mit $\begin{eqnarray*} b_1=2 \end{eqnarray*}$ .
Unser Ansatz sieht deshalb entsprechend aus:
$\begin{eqnarray*} y_p=a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

Das jetzt einfach zweimal ableiten. Die Variablen gilt es zu bestimmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

03.05.2012, 22:50

JamesBond

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Ich verstehs immer noch nicht verwirrt

verwirrt

muss ich das so machen? ist $\begin{eqnarray*} a_1x= a_1(x) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} y_p'=a_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p''=0 \end{eqnarray*}$

03.05.2012, 22:52

Equester

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$\begin{eqnarray*} a_1x= a_1(x) \end{eqnarray*}$ ? Also a ist unabhängig von x.

Ja, sonst stimmt. Das nun in die DGL Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

03.05.2012, 23:05

JamesBond

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ahhh jetzt ist's wieder klar^^

in Dgl.:

$\begin{eqnarray*} 0-2*a_1+2*(a_1x+a_0)=2x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a_1+2a_1x+2a_0=2x+1 \end{eqnarray*}$

Und da muss ich jetzt irgendwie einen Koeffizientenvergleich machen?
Ich kann das dummerweise nicht. Ich gucks mir Heute und Morgen an wie das geht und dann können wir Morgen weiter machen. Einverstanden? Oder würde ich das jetzt easy hinbekommen? smile

smile

03.05.2012, 23:12

Equester

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Ein Schreibfehler:

$\begin{eqnarray*} 0-\color{red}3\color{black}*a_1+2*(a_1x+a_0)=2x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\color{red}3\color{black}a_1+2a_1x+2a_0=2x+1 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist vollens einfach. Eine Minute Aufwand Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Koeffizientenvergleich bedeutet nun, die Koeffizienten zu vergleichen.
Wir schauen uns also die Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ an.

$\begin{eqnarray*} x^1: 2a_1=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^0: -3a_1+2a_0=1 \end{eqnarray*}$

Du kannst mir folgen? Dieses LGS zu lösen ist ja nicht weiters schwer Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

03.05.2012, 23:29

JamesBond

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oh stimmt da ist mir ein Fehler unterlaufen.

mir ist nicht einleuchtend wieso bei $\begin{eqnarray*} x^1 : 2a_1=2 \end{eqnarray*}$ das x hinter der 2 nichtmehr steht. Sonst ist alles Sonnenklar.

03.05.2012, 23:31

Equester

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Du vergleichst nur die Koeffizienten. Das heißt du schaust dir die Koeffizienten der
linken Seite an und vergleichst sie mit der rechten Seite.

Deswegen
$\begin{eqnarray*} x^1: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2a_1=2 \end{eqnarray*}$

klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2012, 23:33

JamesBond

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Jetzt leuchtet es mir ein smile

smile

03.05.2012, 23:35

Equester

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Wie sieht dann deine allgm. Lösung aus? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2012, 23:45

JamesBond

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Ich würde das ganze einfach umstellen und dann müsste dass das Ergebnis sein:

$\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=3,5 \end{eqnarray*}$

03.05.2012, 23:48

Equester

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Wie kommst du auf 3,5 verwirrt

verwirrt

?

03.05.2012, 23:56

JamesBond

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Man merkt das die Konzentration nachlässt^^

natürliche meinte ich $\begin{eqnarray*} a_0=2 \end{eqnarray*}$

Ist das meine allg. Lsg.?

Wenn ich jetzt eine quadratische Gleichung gehabt hätte, hätte ich mehrere Gleichungssysteme aufstellen müssen oder?

04.05.2012, 00:00

Equester

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Naja so stehen lassen würde ich es nicht.

$\begin{eqnarray*} y_{h}=c_1e^{2x}+c_2e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p=x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=y_h+y_p=c_1e^{2x}+c_2e^x+x+2 \end{eqnarray*}$

Ja, hast du eine rechte Seite mit einem Polynom vom Grad 2, hast du deinen
Ansatz ebenfalls um eins zu erhöhen. Es wird dann im Allgemeinen auch eine
weitere Gleichung hinzukommen.

04.05.2012, 00:09

JamesBond

Auf diesen Beitrag antworten »

also $\begin{eqnarray*} y=y_h+y_p \end{eqnarray*}$ ist meine allg. Lsg.?

Jetzt verstehe ich nicht wieso wir überhaupt $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ berechnet haben, wenn wir eh einfach die rechte Seite der Gleichung mit der homogenen Lösung addieren?

04.05.2012, 00:14

Equester

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Nein, die rechte Seite hieß ursprünglich 2x+1.
Das hat also die Form: $\begin{eqnarray*} g(x)=b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$

Damit arbeiten wir mit dem Ansatz: $\begin{eqnarray*} y_p=a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ .
Es gilt nun die beiden Variablen zu bestimmen, was wir auch gemacht haben.
Es ergibts sich dann $\begin{eqnarray*} y_p=x+2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=2 \end{eqnarray*}$ . Ok? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

also $\begin{eqnarray*} y=y_h+y_p \end{eqnarray*}$ ist meine allg. Lsg.?

Genau

Freude

.

04.05.2012, 00:23

JamesBond

Auf diesen Beitrag antworten »

aaaaah jaaaaaaa jetzt hab ichs verstanden!!! Tanzen

Tanzen

Tanzen

das $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ tun wir in $\begin{eqnarray*} b_1x \end{eqnarray*}$ rein und das ganze auch mit $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ und es gilt ja $\begin{eqnarray*} y_p=b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$ also haben wir dann $\begin{eqnarray*} y_p=x+2 \end{eqnarray*}$ und dann gilt ja $\begin{eqnarray*} y=y_h+y_p \end{eqnarray*}$

Bitte lass diese Überlegung richtig sein Gott

Gott

04.05.2012, 00:26

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm du wirfst die Notationen ein wenig rum.

Das g(x) steht für das "Restglied", die rechte Seite. Das $\begin{eqnarray*} y_p=a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ ist
dein Ansatz, der auf das Restglied zugeschnitten ist! Das ist schon ein Unterschied!

Bei uns:
$\begin{eqnarray*} b_1=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0=2 \end{eqnarray*}$

Das sich hier die Zahlen grad abwechseln ist nur Zufall Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

04.05.2012, 00:37

JamesBond

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt versteh ich nichts mehr unglücklich

unglücklich

wo kommen dann die Lsg. $\begin{eqnarray*} y_p=x+2 \end{eqnarray*}$ her?

04.05.2012, 00:41

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben unsere rechte Seite: x+2.
Diese hat die Form: $\begin{eqnarray*} b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$

Das ist klar?

In deiner Liste hast du gesehen, dass du bei obiger Form diesen Ansatz wählst:
$\begin{eqnarray*} y_p=a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$
Das einfach ableiten und in die DGL setzen. Dann einen Koeffizientenvergleich machen und die Variablen lösen.

Das ist dann deine partikuläre Lösung.
Klar?

04.05.2012, 00:51

JamesBond

Auf diesen Beitrag antworten »

okay. die rechte Seite hat die Form $\begin{eqnarray*} b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$ und das sagt uns das wir den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y_p=a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ machen sollen. Das haben wir dann abgeleitet und festgestellt das $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=2 \end{eqnarray*}$ ist. Bis dahin ist alles klar.

Den nächsten Schritt versteh ich nicht.

04.05.2012, 00:53

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist nicht mehr schwer.
Man muss wissen, dass sich die allgemeine Lösung einer DGL aus dem homogenen und
partikulären Teil zusammensetzt, also:

$\begin{eqnarray*} y=y_h+y_p=c_1e^{2x}+c_2e^x+x+2 \end{eqnarray*}$

04.05.2012, 00:58

JamesBond

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Das hab ich verstanden. Ich verstehe nur nicht wie aus unserer partikulären Lsg.
$\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=2 \end{eqnarray*}$ aufeinmal $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ wird.

04.05.2012, 01:00

Equester

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$\begin{eqnarray*} y_p=a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

Da ersetzt du nun einfach die Variablen. Diese haben wir ja grad bestimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} y_p=a_1x+a_0=x+2 \end{eqnarray*}$

04.05.2012, 01:06

JamesBond

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Ja klar stimmt Hammer

Hammer

Jetzt ist alles logisch! Tanzen

Tanzen

endlich geschafft Big Laugh

Big Laugh

Ich bedanke mich für die Hilfe und für die große Geduld Freude

Freude

Bis zum nächsten mal Wink

Wink

04.05.2012, 01:08

Equester

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Freut mich, wenns nun "Klick" gemacht hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gute Nacht,
Wink

Wink

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