Umstellen

02.05.2012, 18:34

Sherlock Holmes

Umstellen

Hi,

ich benötige mal ganz dringend Hilfe in dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi \cdot \alpha ^{2} }{1296}\cdot \sqrt{100-\frac{\alpha }{1296}\cdot } \frac{1}{3} \right)\cdot 10 \end{eqnarray*}$

Und zwar ich möchte es nach Alpha umstellen. Aber leider weiß ich nicht, wie ich am besten vorgehen soll.

02.05.2012, 18:37

Equester

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Umstellen

.
Wir haben nur einen Ausdruck...keine Gleichung Augenzwinkern

02.05.2012, 18:39

Sherlock Holmes

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$\begin{eqnarray*} f(\alpha)= \left(\frac{\pi \cdot \alpha ^{2} }{1296}\cdot \sqrt{100-\frac{\alpha^2 }{1296} }\cdot \frac{1}{3} \right)\cdot 10 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es eine Big Laugh

02.05.2012, 18:53

Equester

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Wie ist denn die genaue Aufgabenstellung? Oder kennst du $\begin{eqnarray*} f(\alpha) \end{eqnarray*}$ ?^^

Wenn ja, dann könntest du doch sicher schonmal anfangen mit umstellen?

02.05.2012, 19:04

Sherlock Holmes

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Ein Kreis mit Radius r=10cm wurden in zwei unterschiedlich große Kreissektoren zerschnitten. Beide wurden zu Kugeln geformt. Der Kegel mit dem kleinen Volumen wird 10mal mit Wasser gefüllt und in den großen Kegel gegossen, bis dieser voll Wasser ist. Welchen Winkel hatten die beiden Kreisbögen?

Das ist die Aufgabe.

Meine Ideen:

Kreisbogen ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} b_1=\frac{2\pi \cdot 10\cdot \alpha }{360}= \frac{\pi \cdot \alpha }{18} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2=\frac{2\pi \cdot 10\cdot \left(360- \alpha \right) }{360}= \frac{\left(360-\alpha \right)\pi }{18} \end{eqnarray*}$

Jetzt überspringe ich mal ein paar Phasen, um auf das Erebnis des kleineren Volumen vom Sektor komme. Habe dann noch die Radien, höhe und somit die Grundfläche berechnet und am Ende ist der kleiner Kreissektor, so viel rausgekommen (Volumen):

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi \cdot \alpha ^{2} }{1296}\cdot \sqrt{100-\frac{\alpha^2 }{1296} } \cdot\frac{1}{3} \right) \cdot 10 \end{eqnarray*}$

Also nach der Aufgabe raus zu schließen, muss man jetzt, wie ich vermute, diese Rechnung mal 10 nehmen, damit der größere Sektor gefüllt wird.

02.05.2012, 19:13

Equester

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Ich konnte jetzt auf die Schnelle nicht nachvollziehen ob deine Umformung stimmt,
aber worauf es hinausläuft ist, dass du das kleine Volumen (mit 10 multipliziert) mit
dem großen Volumen gleichsetzt. Damit kannst du dann den Winkel errechnen Augenzwinkern

02.05.2012, 19:19

Sherlock Holmes

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Ok, ich bin mir relativ sicher, dass die Umformung stimmt.

Zu diesem Schluss kam ich:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi \cdot \alpha ^{2} }{1296}\cdot \sqrt{100-\frac{\alpha^2 }{1296} } \cdot\frac{1}{3} \right) \cdot 10= \left(\frac{\pi \cdot \alpha ^{2} }{1296}\cdot \sqrt{100-\frac{\alpha^2 }{1296} } \cdot\frac{1}{3} \right) \end{eqnarray*}$

In der Aufgabe steht ja das der größere Sektor 10 mal mit dem kleineren Sektor gefüllt wird damit dieser voll ist.
Und wir wissen ja auch nicht das Volumen vom großen Sektor.

So jetzt meine Frage smile

, wie kann ich nach alpha umstellen? Big Laugh

02.05.2012, 19:35

Equester

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Nah, das kann jetzt nicht sein. Das ist 10 mal das Volumen gleich das Volumen verwirrt

.

Das große Volumen kannst du sicher auch angeben.
Wieder in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

02.05.2012, 19:47

Sherlock Holmes

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Stimmt, du hast recht, dumme Idee. In der Zwischnezeit habe ich mir das errechnet. Nach mehreren Rechnungen kam ich zu diesem Resultat: (Größere Sektor)

$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \left(100-\frac{20}{36}\alpha + \frac{\alpha ^{2} }{1296} \right)\cdot \sqrt{100-\left(\frac{360-\alpha }{36} \right)^{2} }\cdot \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt gleichgesetzt:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi \cdot \alpha ^{2} }{1296}\cdot \sqrt{100-\frac{\alpha^2 }{1296} } \cdot\frac{1}{3} \right) \cdot 10=\pi \cdot \left(100-\frac{20}{36}\alpha + \frac{\alpha ^{2} }{1296} \right)\cdot \sqrt{100-\left(\frac{360-\alpha }{36} \right)^{2} }\cdot \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

02.05.2012, 20:02

Equester

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Ich würde die Umformungen gerne selbst nachvollziehen, kann es aber grad nicht verwirrt

.
Ich such mal jmd, der dir eine größere Hilfe ist als ich Augenzwinkern

02.05.2012, 20:03

Sherlock Holmes

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Ich kann sie dir gerne erklären. Wenn nicht, dann bitte! Ich brauch dringend die Lösung bzw den Rechenweg.

02.05.2012, 20:21

Equester

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Ok, konnte nun folgen und kann auch deine Gleichung bestätigen.
Das allerdings nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ aufzulösen...Hier sehe ich keinen
sinnvollen Weg.

02.05.2012, 20:39

Sherlock Holmes

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Nach Alpha auflösen, weil der Winkel gefragt ist. Ich muss ja am Ende den Winkel alpha rauskriegen, deswgen, muss ich ja umstellen... verwirrt

02.05.2012, 20:46

Equester

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Jaja, das ist mir bewusst.
Nach meiner Einschätzung ist das nicht sinnvoll möglich.
Nichtmal wolfram alpha kann das ausrechnen Augenzwinkern

02.05.2012, 20:47

Sherlock Holmes

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Welche Vorschläge hättest du noch für mich? Wie würde ich den Winkel noch errechnen ? smile

Übrigens was ist dieses Wolfram alpha? Irgendeine Internet Seite?

02.05.2012, 20:49

Equester

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Woher hast du denn die Aufgabe?
Sie scheint mir nicht ganz anspruchslos zu sein...

02.05.2012, 20:50

Sherlock Holmes

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Die hat mir mein Mathe Lehrer gegeben, das ist eine typische LK Aufgabe/schwierige Aufgabe. Wir sollten die mal probieren und ich bin so weit gekommen... Ich will nicht aufgeben unglücklich

02.05.2012, 22:19

-ItsMe-

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Wenn ich denn darf, will ich auch mal meinen Beitrag abgeben smile

Ich glaube, den Fehler, den du gemacht hast, ist gleich am Anfang anzunehmen, dass das Volumen direkt proportional zur Oberfläche eines Kegels ist.

Du hast angenommen, dass sich die beiden Kreisbögen, aus denen dann die Kegeln geformt wurden, sich wie die Volumina der beiden Kegel verhalten.

03.05.2012, 16:42

Sherlock Holmes

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Zitat:

Du hast angenommen, dass sich die beiden Kreisbögen, aus denen dann die Kegeln geformt wurden, sich wie die Volumina der beiden Kegel verhalten.

Stimmt dass denn nicht? Wenn nein, wieso. Das war mein einziger Anhaltspunkt.

03.05.2012, 16:48

sulo

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Ich habe die Gleichungen auch aufgestellt.
Dabei bin ich über die Kreisfläche gegangen, aus der die Mantelflächen zweier Kegel werden.
Von den Mantelflächen aus habe ich dann auf die beiden Volumina geschlossen und erst dann den Faktor 10 eingeführt.

Ich bin im Prinzip zur selben Gleichung wie Sherlock Holmes gekommen, allerdings habe ich die pi und das 1/3 entfernt und ein bisschen zusammengefasst.

Am Ende stand jedenfalls auch eine recht umfangreiche Gleichung, aus der ich nicht wirklich den gesuchten Winkel errechnen wollte.

03.05.2012, 16:51

Sherlock Holmes

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@Sulo

Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast. Hast du vielleicht noch Ideen? Ich will nicht aufgeben Big Laugh

03.05.2012, 17:01

sulo

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Du könntest noch ein bisschen zusammenfassen und dann quadrieren, damit die Wurzeln verschwinden.

Wenn das aber eine Aufgabe für dich ist, um dein Leistungsvermögen zu testen, dann solltest du dir das nicht von anderen vorrechnen lassen.
Und bedenke: Auch Lehrer googlen. Augenzwinkern

03.05.2012, 17:04

Sherlock Holmes

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Zitat:

Und bedenke: Auch Lehrer googlen

Sehr gute Idee. Hammer

Ja, ich versuch noch was aus... aber heute nicht. Bin ein bisschen Faul Augenzwinkern

. Wenn ich die Lösung hab -> poste ich.

Ansonsten vielen Dank an alle Helfer! smile

05.05.2012, 23:19

-ItsMe-

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Bin mir nicht ganz sicher, ob das nun stimmt - Aber ich komme auf

$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{360\cdot\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$

Was übrigens völlig unabhängig vom Radius des Kreises ist (sofern es denn richtig ist).

Der Mantel eines Kegels ist doch übrigens nicht direkt proportional zum Volumen, oder?

$\begin{eqnarray*} V_1(r,h) = \frac{r²h\pi}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_2(r,h) = a\cdot V_1(r,h) = \frac{ar²h\pi}{3} = V_1(\sqrt{a} r,h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_1(r,s) = rs\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_2(r,s) = M_1(\sqrt{a} r,s) = \sqrt{a} rs\pi = \sqrt{a}\cdot M_1(r,s) \end{eqnarray*}$

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